Um agricultor afirma que a proporção de árvores frutíferas contaminadas com uma praga em sua propriedade é menor do que 0,25 . Um agrônomo avaliou 40 árvores e verificou que 17 apresentavam sintomas de contaminação. Teste a afirmação do agricultor com um nível de significância de 0,05. Construa um intervalo de confiança de 95% para a proporção de árvores contaminadas dessa propriedade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que um agricultor acha que menos de 25% das árvores frutíferas da sua propriedade estão contaminadas com uma praga. Um agrônomo deu uma olhada em 40 árvores e viu que 17 estavam com sintomas dessa contaminação. Nosso trabalho é testar se essa afirmação do agricultor é verdadeira, usando um nível de significância de 5% (0,05). Além disso, vamos construir um intervalo de confiança de 95% para a proporção real de árvores contaminadas nessa propriedade. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre testes de proporção e intervalos de confiança para proporções.

Passo 2

Primeiro, vamos formular as hipóteses do teste. A gente quer verificar se a proporção real de árvores contaminadas é menor que 25%.
  • Hipótese nula (H₀): A proporção de árvores contaminadas é igual a 0,25.
    H₀: p = 0,25
  • Hipótese alternativa (H₁): A proporção de árvores contaminadas é menor que 0,25.
    H₁: p < 0,25

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção observada no estudo realizado pelo agrônomo. Foram avaliadas 40 árvores e 17 estavam contaminadas.
p = 1740 = 0,425
Então, a proporção amostral é de 42,5%.

Passo 4

Para realizar o teste de hipóteses, vamos usar o teste z para proporções. A fórmula do z é:
z = p - p0raizp0 (1 - p0)n
Onde:
  • raiz0,25 times (1 - 0,25)40 = raiz0,25 times 0,7540 = raiz0,187540 = raiz0,0046875 approx 0,0684 é a proporção amostral (0,425)
  • z = 0,425 - 0,250,0684 approx 0,1750,0684 approx 2,56 é a proporção na hipótese nula (0,25)
  • é o tamanho da amostra (40)
Vamos calcular o denominador primeiro:
Agora, calculamos o z:

Passo 5

Como estamos testando se a proporção é menor que 0,25, estamos tratando de um teste unilateral à esquerda. Porém, nosso z calculado é positivo (2,56), indicando que a proporção amostral é maior que a hipótese nula.
Vamos verificar o valor crítico para um nível de significância de 5% em um teste unilateral à esquerda. O valor crítico z correspondente é aproximadamente -1,645.
Como nosso z calculado (2,56) é maior que -1,645, não rejeitamos a hipótese nula.
Além disso, podemos observar que a proporção amostral é maior do que 0,25, o que já sugere que a afirmação do agricultor não é sustentada pelos dados coletados.

Passo 6

Agora, vamos construir um intervalo de confiança de 95% para a proporção real de árvores contaminadas. A fórmula para o intervalo de confiança é:
p pm Z times raizp (1 - p)n
Onde raiz0,425 times (1 - 0,425)40 = raiz0,425 times 0,57540 = raiz0,24437540 = raiz0,006109375 approx 0,0782 para 95% de confiança é aproximadamente 1,96.
Calculando o erro padrão:
0,425 pm 1,96 times 0,0782
Agora, calculamos o intervalo:
0,425 pm 0,153
(0,425 - 0,153, , 0,425 + 0,153) = (0,272, , 0,578)
Portanto, o intervalo de confiança é:

Resposta

Com base nos dados, não rejeitamos a afirmação do agricultor de que menos de 25% das árvores estão contaminadas, já que a proporção observada foi de 42,5% e o teste não sustenta a hipótese alternativa. Além disso, o intervalo de confiança de 95% para a proporção real de árvores contaminadas é entre 27,2% e 57,8%.

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