Um agricultor afirma que a proporção de árvores frutíferas contaminadas com uma praga em sua propriedade é menor do que 0,25 . Um agrônomo avaliou 40 árvores e verificou que 17 apresentavam sintomas de contaminação. Teste a afirmação do agricultor com um nível de significância de 0,05. Construa um intervalo de confiança de 95% para a proporção de árvores contaminadas dessa propriedade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que um agricultor acha que menos de 25% das árvores frutíferas da sua propriedade estão contaminadas com uma praga. Um agrônomo deu uma olhada em 40 árvores e viu que 17 estavam com sintomas dessa contaminação. Nosso trabalho é testar se essa afirmação do agricultor é verdadeira, usando um nível de significância de 5% (0,05). Além disso, vamos construir um intervalo de confiança de 95% para a proporção real de árvores contaminadas nessa propriedade. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre testes de proporção e intervalos de confiança para proporções.
Passo 2
Primeiro, vamos formular as hipóteses do teste. A gente quer verificar se a proporção real de árvores contaminadas é menor que 25%.
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Hipótese nula (H₀): A proporção de árvores contaminadas é igual a 0,25.
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Hipótese alternativa (H₁): A proporção de árvores contaminadas é menor que 0,25.
Passo 3
Agora, vamos calcular a proporção observada no estudo realizado pelo agrônomo. Foram avaliadas 40 árvores e 17 estavam contaminadas.
Então, a proporção amostral é de 42,5%.
Passo 4
Para realizar o teste de hipóteses, vamos usar o teste z para proporções. A fórmula do z é:
Onde:
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é a proporção amostral (0,425) -
é a proporção na hipótese nula (0,25) -
é o tamanho da amostra (40)
Vamos calcular o denominador primeiro:
Agora, calculamos o z:
Passo 5
Como estamos testando se a proporção é menor que 0,25, estamos tratando de um teste unilateral à esquerda. Porém, nosso z calculado é positivo (2,56), indicando que a proporção amostral é maior que a hipótese nula.
Vamos verificar o valor crítico para um nível de significância de 5% em um teste unilateral à esquerda. O valor crítico z correspondente é aproximadamente -1,645.
Como nosso z calculado (2,56) é maior que -1,645, não rejeitamos a hipótese nula.
Além disso, podemos observar que a proporção amostral é maior do que 0,25, o que já sugere que a afirmação do agricultor não é sustentada pelos dados coletados.
Passo 6
Agora, vamos construir um intervalo de confiança de 95% para a proporção real de árvores contaminadas. A fórmula para o intervalo de confiança é:
Onde
para 95% de confiança é aproximadamente 1,96.
Calculando o erro padrão:
Agora, calculamos o intervalo:
Portanto, o intervalo de confiança é:
Resposta
Com base nos dados, não rejeitamos a afirmação do agricultor de que menos de 25% das árvores estão contaminadas, já que a proporção observada foi de 42,5% e o teste não sustenta a hipótese alternativa. Além disso, o intervalo de confiança de 95% para a proporção real de árvores contaminadas é entre 27,2% e 57,8%.