Um agricultor deseja cercar uma pastagem retangular de área 12800 m^2, adjacente a uma longa parede de pedra. Ele não precisa de cerca ao longo da parede de pedra. Quais as dimensões de modo a gastar o menos possível de cerca?

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Um agricultor quer cercar uma pastagem retangular de área 12800 , m^2 ao lado de uma parede de pedra. Ele não precisa de cerca nessa parede. Nosso objetivo é encontrar as dimensões desse retângulo que usam a menor quantidade possível de cerca. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização em cálculo, focando em minimizar a quantidade de cerca necessária.

Passo 2

Vamos chamar as dimensões do retângulo de comprimento x (paralela à parede) e largura y (perpendicular à parede). A área da pastagem é dada por:
x times y = 12800 , m^2

Passo 3

Como a cerca não é necessária ao longo da parede, o agricultor precisa cercar apenas três lados: dois de largura ( y) e um de comprimento ( x). Portanto, a quantidade total de cerca necessária é:
C = x + 2y

Passo 4

Queremos minimizar C, ou seja, encontrar os valores de x e y que tornam C o menor possível, respeitando a condição da área x times y = 12800.

Passo 5

Vamos expressar x em função de y usando a equação da área:
x = 12800y

Passo 6

Substituindo x na expressão de C, temos:
C = 12800y + 2y

Passo 7

Agora, vamos minimizar a função C(y) = 12800y + 2y. Para isso, vamos derivar C em relação a y e encontrar onde a derivada é zero.

Passo 8

A derivada de C em relação a y é:
dCdy = -12800y^2 + 2

Passo 9

Igualando a derivada a zero para encontrar o ponto mínimo:
-12800y^2 + 2 = 0

Passo 10

Resolvendo para y^2:
2 = 12800y^2 y^2 = 128002 y^2 = 6400 y = raiz6400 y = 80 , m

Passo 11

Agora que temos y = 80 , m, podemos encontrar x usando a equação da área:
x = 1280080 x = 160 , m

Resposta

As dimensões que minimizam a quantidade de cerca são comprimento de 160 , m e largura de 80 , m.

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