Um agricultor deseja cercar uma pastagem retangular de área
, adjacente a uma longa parede de pedra. Ele não precisa de cerca ao longo da parede de pedra. Quais as dimensões de modo a gastar o menos possível de cerca?
Passo 1
Vamos começar entendendo o problema. Um agricultor quer cercar uma pastagem retangular de área
ao lado de uma parede de pedra. Ele não precisa de cerca nessa parede. Nosso objetivo é encontrar as dimensões desse retângulo que usam a menor quantidade possível de cerca. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização em cálculo, focando em minimizar a quantidade de cerca necessária.
Passo 2
Vamos chamar as dimensões do retângulo de comprimento
(paralela à parede) e largura
(perpendicular à parede). A área da pastagem é dada por:
Passo 3
Como a cerca não é necessária ao longo da parede, o agricultor precisa cercar apenas três lados: dois de largura (
) e um de comprimento (
). Portanto, a quantidade total de cerca necessária é:
Passo 4
Queremos minimizar
, ou seja, encontrar os valores de
e
que tornam
o menor possível, respeitando a condição da área
.
Passo 5
Vamos expressar
em função de
usando a equação da área:
Passo 6
Substituindo
na expressão de
, temos:
Passo 7
Agora, vamos minimizar a função
. Para isso, vamos derivar
em relação a
e encontrar onde a derivada é zero.
Passo 8
A derivada de
em relação a
é:
Passo 9
Igualando a derivada a zero para encontrar o ponto mínimo:
Passo 10
Resolvendo para
:
Passo 11
Agora que temos
, podemos encontrar
usando a equação da área:
Resposta
As dimensões que minimizam a quantidade de cerca são comprimento de
e largura de
.