Determine os pontos de máximo relativo, mínimo relativo e de sela que existirem na função f(x, y)=y^3+x^2-6 x y+3 x+6 y-7.

Passo 1

A questão pede pra encontrar pontos de máximo relativo, mínimo relativo e ponto de sela da função f(x,y)=y^3+x^2-6xy+3x+6y-7. Vamos usar derivadas parciais para achar os pontos críticos e depois classificar cada um com a Hessiana.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=2x-6y+3,
partial fpartial y=3y^2-6x+6

Passo 3

Resolver o sistema de pontos críticos:
2x-6y+3=0,
3y^2-6x+6=0
Da primeira equação isolamos x=3y-tfrac32. Substituindo na segunda:
3y^2-6(3y-tfrac32)+6=0
3y^2-18y+9+6=0
y^2-6y+5=0implies y=1 ou y=5
Assim x=3(1)-tfrac32=tfrac32 ou x=3(5)-tfrac32=tfrac272 Os pontos críticos são (tfrac32,1) e (tfrac272,5).

Passo 4

Montar a matriz Hessiana de f:
H=fxx&fxyfyx&fyy =2&-6-6&6y

Passo 5

Classificar cada ponto:
  • Em (tfrac32,1): fxx=2, fyy=6, Determinante D=2cdot6-(-6)^2=12-36=-24<0 → ponto de sela.
  • Em (tfrac272,5): fxx=2, fyy=30, Determinante D=2cdot30-36=60-36=24>0 e fxx>0 → mínimo relativo.

Passo 6

Não existe ponto onde D>0 e fxx<0, logo não há máximo relativo.

Resposta

Ponto de mínimo relativo em (27/2,5); ponto de sela em (3/2,1); não há ponto de máximo relativo.

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