Determine a expansão em série de Taylor de
P(x)=3 x^2-5 x+9 em potências de x-1;

Passo 1

A questão pede para expandir o polinômio P(x)=3x^2-5x+9 em potências de x-1. O conteúdo é série de Taylor (que para polinômios fecha em grau finito) centrada em x=1. Vamos usar a troca de variável h=x-1 e reescrever P(x)=P(1+h).

Passo 2

Definimos h=x-1, então x=1+h. Substituindo em P(x) temos:
P(1+h)=3(1+h)^2-5(1+h)+9

Passo 3

Agora expandimos cada termo:
3(1+h)^2=3(1+2h+h^2)=3+6h+3h^2
-5(1+h)=-5-5h

Passo 4

Somando tudo com o +9, obtemos:
P(1+h)= (3+6h+3h^2) +(-5-5h) +9 =3h^2+(6h-5h)+(3-5+9)

Passo 5

Simplificando coeficientes:
P(1+h)=3h^2 +1h +7

Passo 6

Voltando a h=x-1, a expansão em potências de x-1 é exatamente
P(x)=7 + (x-1) +3(x-1)^2

Resposta

P(x)=7+(x-1)+3(x-1)^2

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