Um agricultor deseja construir um reservatório cilíndrico, fechado em cima, com capacidade de
. Sabendo que o preço da chapa de aço é de
o metro quadrado, determine:
Suas dimensões de modo que o custo seja mínimo;
Suas dimensões de modo que o custo seja mínimo;
Passo 1
O problema pede para dimensionar um cilindro fechado nos dois topos (lateral, tampa e base) de volume fixo de 6280 m³ de modo a minimizar o custo do aço, dado o preço de R$50,00/m². Vamos usar as fórmulas de volume e de área de superfície de um cilindro e o método da derivada para otimização.
Passo 2
Volume de um cilindro:
Como o volume deve ser 6280 m³, isolamos
Passo 3
Área total (lateral + duas bases) do cilindro:
O custo
Passo 4
Substituímos
em
para ter área só em função de
:
Passo 5
Para achar o mínimo, derivamos e igualamos a zero:
Logo
Confirmamos que
, então é mínimo.
Passo 6
Agora calculamos a altura usando
:
Resposta
Raio ≈ 10 m e altura ≈ 20 m.