Um agricultor deseja construir um reservatório cilíndrico, fechado em cima, com capacidade de 6280 m^3. Sabendo que o preço da chapa de aço é de R o metro quadrado, determine:
Suas dimensões de modo que o custo seja mínimo;

Passo 1

O problema pede para dimensionar um cilindro fechado nos dois topos (lateral, tampa e base) de volume fixo de 6280 m³ de modo a minimizar o custo do aço, dado o preço de R$50,00/m². Vamos usar as fórmulas de volume e de área de superfície de um cilindro e o método da derivada para otimização.

Passo 2

Volume de um cilindro:
V=pi r^2h
Como o volume deve ser 6280 m³, isolamos h:
h=6280pi r^2

Passo 3

Área total (lateral + duas bases) do cilindro:
A=2pi r h + 2pi r^2
O custo C é proporcional a A, então basta minimizar A.

Passo 4

Substituímos h em A para ter área só em função de r:
A(r)=2pi r^2 + 2pi rcdot6280pi r^2=2pi r^2+12560r

Passo 5

Para achar o mínimo, derivamos e igualamos a zero:
A'(r)=4pi r-12560r^2=0
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4pi r=12560r^2implies r^3=3140piimplies r=l(3140pir)^1/3approx10 m
Confirmamos que A''(r)>0, então é mínimo.

Passo 6

Agora calculamos a altura usando h=6280/(pi r^2):
h=6280pi(10)^2approx20 m

Resposta

Raio ≈ 10 m e altura ≈ 20 m.

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