Conservação de uma espécie - Um grupo de biólogos marinhos do Instituto Netuno de Oceanografia recomendou que uma série de medidas de preservação fosse implantada durante a próxima década para impedir a extinção de certa espécie de baleia. Após a implementação das medidas de preservação, espera-se que a população dessa espécie seja igual a N(t)=3 t^3+2 t^2-10 t+600(0 <= t <= 600) onde N(t) denota a população no fim de ano t .
Determine a taxa de crescimento da população de baleias quando t=2 e t=6.

Passo 1

O enunciado dá a função da população ao fim de t anos como N(t)=3t^3+2t^2-10t+600 e pede a taxa de crescimento dessa população nos instantes t=2 e t=6. Estamos num contexto de derivadas de funções polinomiais, pois a taxa de crescimento instantânea de N(t) é dada por sua derivada N'(t).

Passo 2

Para entender a taxa de crescimento, lembramos que a derivada de N(t) em relação a t mede a variação instantânea da população, ou seja, quantas baleias por ano a população está aumentando (ou diminuindo) num dado instante.

Passo 3

Agora aplicamos a regra do poder termo a termo para derivar a função N(t). A derivada de 3t^3 é 9t^2, de 2t^2 é 4t, de -10t é -10, e de 600 (constante) é 0. Assim,
N'(t)=9t^2+4t-10

Passo 4

Para t=2, substituímos na expressão de N'(t):
N'(2)=9cdot2^2+4cdot2-10=9cdot4+8-10=36+8-10=34 Portanto a taxa de crescimento é de 34 baleias por ano.

Passo 5

Para t=6, fazemos o mesmo:
N'(6)=9cdot6^2+4cdot6-10=9cdot36+24-10=324+24-10=338 Portanto a taxa de crescimento é de 338 baleias por ano.

Resposta

A taxa de crescimento da população é N'(2)=34 baleias/ano e N'(6)=338 baleias/ano.

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