Dada as funções abaixo, esboce o gráfico e determine as características conforme os critérios da primeira e segunda derivada.
f(x)=-x^4+2 x^2+2

Passo 1

Beleza! A gente tem a função . Nosso objetivo aqui é esboçar o gráfico dessa função e descobrir suas características usando a primeira e a segunda derivada. Vamos precisar saber como encontrar derivadas e entender o que elas nos dizem sobre o gráfico, como onde a função cresce ou decresce, onde tem máximos ou mínimos, e como é a concavidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de f'(x) = ddx(-x^4 + 2x^2 + 2) = -4x^3 + 4x , que é a . A primeira derivada nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou decrescendo.

Passo 3

Agora, vamos achar a segunda derivada, f''(x) = ddx(-4x^3 + 4x) = -12x^2 + 4 . A segunda derivada nos mostra a concavidade do gráfico e onde podem existir pontos de inflexão.

Passo 4

Vamos encontrar os pontos críticos resolvendo -4x^3 + 4x = 0 -4x(x^2 - 1) = 0 Rightarrow x = 0 ou x^2 - 1 = 0 Rightarrow x = 0, , x = 1, , x = -1 :
Então, os pontos críticos são , e .

Passo 5

Vamos usar a segunda derivada para determinar a natureza desses pontos críticos.
  • Para f''(-1) = -12(-1)^2 + 4 = -12 + 4 = -8 (< 0) Rightarrow Máximo local :
f''(0) = -12(0)^2 + 4 = 4 (> 0) Rightarrow Mínimo local á
  • Para f''(1) = -12(1)^2 + 4 = -12 + 4 = -8 (< 0) Rightarrow Máximo local :
í
  • Para :
á
Então, temos:
  • Máximos locais em e
  • Mínimo local em

Passo 6

Agora, vamos analisar a concavidade e encontrar possíveis pontos de inflexão resolvendo -12x^2 + 4 = 0 -12x^2 = -4 x^2 = 412 = 13 x = pm 1raiz3 approx pm 0,577 :
Então, temos pontos de inflexão em e .
Para determinar a concavidade:
  • Para , : Concava para cima.
  • Para , : Concava para baixo.

Resposta

O gráfico da função possui as seguintes características:
  • Pontos Críticos e Extremos Locais:
    • Máximos locais em e .
    • Mínimo local em .
  • Concavidade e Pontos de Inflexão:
    • Concava para cima no intervalo .
    • Concava para baixo fora desse intervalo.
    • Pontos de inflexão aproximadamente em e .
Com base nisso, o esboço do gráfico mostrará uma curva que sobe até os pontos e (máximos), desce até (mínimo), e muda sua concavidade nos pontos de inflexão mencionados.

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