Dada as funções abaixo, esboce o gráfico e determine as características conforme os critérios da primeira e segunda derivada.
Passo 1
Beleza! A gente tem a função
. Nosso objetivo aqui é esboçar o gráfico dessa função e descobrir suas características usando a primeira e a segunda derivada. Vamos precisar saber como encontrar derivadas e entender o que elas nos dizem sobre o gráfico, como onde a função cresce ou decresce, onde tem máximos ou mínimos, e como é a concavidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
, que é a
. A primeira derivada nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou decrescendo.
Passo 3
Agora, vamos achar a segunda derivada,
. A segunda derivada nos mostra a concavidade do gráfico e onde podem existir pontos de inflexão.
Passo 4
Vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Então, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 5
Vamos usar a segunda derivada para determinar a natureza desses pontos críticos.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Então, temos:
- Máximos locais em
e - Mínimo local em
Passo 6
Agora, vamos analisar a concavidade e encontrar possíveis pontos de inflexão resolvendo
:
Então, temos pontos de inflexão em
e
.
Para determinar a concavidade:
- Para
, : Concava para cima. - Para
, : Concava para baixo.
Resposta
O gráfico da função
possui as seguintes características:
-
Pontos Críticos e Extremos Locais:
- Máximos locais em
e . - Mínimo local em
.
- Máximos locais em
-
Concavidade e Pontos de Inflexão:
- Concava para cima no intervalo
. - Concava para baixo fora desse intervalo.
- Pontos de inflexão aproximadamente em
e .
- Concava para cima no intervalo
Com base nisso, o esboço do gráfico mostrará uma curva que sobe até os pontos
e
(máximos), desce até
(mínimo), e muda sua concavidade nos pontos de inflexão mencionados.