Funções Lucro Marginal - Suponha que a relação entre o preço unitário p em dólares e a quantidade demandada x do sistema de caixas de som da Acrosonic modelo F é dada pela equação p=-0,02 x+400(0 <= x <= 20000) e suponha que o custo de produção de x unidades dos sistema de caixas de som da Acrosonic seja de C(x)=100 x+200000 dólares.
Determine a função lucro marginal.

Passo 1

O enunciado dá a função preço-unitário p(x)=-0,02x+400 e o custo de produção C(x)=100x+200000. O objetivo é encontrar a função lucro marginal, ou seja, a derivada da função lucro, usando conceitos de receita, lucro e derivadas.

Passo 2

Primeiro, calculamos a receita R(x), que é o preço vezes a quantidade vendida. Assim, usando p(x):
R(x)=x,p(x)=xl(-0,02x+400r)=-0,02x^2+400x

Passo 3

Em seguida, definimos a função lucro L(x) como receita menos custo. Então:
L(x)=R(x)-C(x)=l(-0,02x^2+400xr)-l(100x+200000r)=-0,02x^2+300x-200000

Passo 4

Por fim, obtemos o lucro marginal calculando a derivada de L(x). Aplicando a regra do polinômio:
L'(x)=ddxl(-0,02x^2+300x-200000r)=-0,04x+300

Resposta

A função lucro marginal é L'(x)=-0,04x+300.

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