5- Um agricultor dispõe de uma caixa dágua de 5000 \mathrm{~m}^{3} para armazenamento de água que se situa na cota \mathbf{1 5 0 m} e deseja levar água até as suas instalações zootécnicas situada em uma área distante do reservatório de 500 metros e de cota 100 m de maneira que a pressão de chegada, seja no mínimo 20 mca com uma velocidade final de 1,65 \mathrm{~m} \cdot \mathrm{~s}^{-1} e vazão \mathrm{Q}=11,64 \mathrm{~m}^{3} \cdot \mathrm{~h}^{-1} \cdot Indique qual o diâmetro deverá ser usado pelo agricultor em material de PVC.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Reservatório (superfície livre) na cota z_1=150\\ \mathrm{m}.
    • Ponto de entrega na cota z_2=100\\ \mathrm{m}.
    • Distância ao longo da tubulação L=500\\ \mathrm{m}.
    • Pressão mínima de chegada p_2 correspondendo a 20\\ \mathrm{mca} (20 metros de coluna d’água).
    • Velocidade final desejada na tubulação v=1,65\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}.
    • Vazão fornecida Q=11{,}64\\ \mathrm{m}^3\cdot\mathrm{h}^{-1}.
    • Materiais: tubo em PVC (usar rugosidade típica do PVC).
  • O que se pede:
    • Indicar qual diâmetro deve ser usado (em PVC), verificando que com esse diâmetro a pressão de chegada seja pelo menos 20\\ \mathrm{mca} quando a velocidade final é 1{,}65\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1} e a vazão é Q.

Passo 2

Primeiro converto unidades e calculo o diâmetro necessário se a velocidade deve ser exatamente v=1{,}65\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}^{-1}.
  • Converter vazão para \mathrm{m}^3\!/\mathrm{s}:
Q=\frac{11{,}64}{3600}=\;0{,}003233\overline{3}\\ \mathrm{m}^3\!\cdot\mathrm{s}^{-1}.
  • Área necessária para essa vazão a velocidade dada:
A=\frac{Q}{v}=\frac{0{,}003233\overline{3}}{1{,}65}=0{,}0019590\\ \mathrm{m}^2.
  • Diâmetro interno correspondente (área de círculo):
d=\sqrt{\frac{4A}{\pi}}=\sqrt{\frac{4\cdot0{,}0019590}{\pi}}=0{,}04995\\ \mathrm{m}\approx0{,}050\\ \mathrm{m}.
Interpretação: se a tubulação tiver diâmetro interno aproximadamente \,0{,}050\\ \mathrm{m} (50 mm), a velocidade será \,1{,}65\\ \mathrm{m/s} para a vazão pedida.

Passo 3

Agora preciso verificar se esse diâmetro permite que, após as perdas ao longo dos 500\\ \mathrm{m}, ainda reste a pressão mínima de 20\\ \mathrm{mca} na chegada. Para isso uso a equação de Bernoulli entre a superfície livre do reservatório (ponto 1) e o ponto de entrega (ponto 2), incluindo a perda de carga h_f:
  • Escrevendo Bernoulli (assumindo superfície livre com pressão atmosférica e velocidade da superfície desprezível):
z_1 + \frac{p_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} = z_2 + \frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + h_f.
Aqui:
  • z é a cota (m),
  • p/\gamma é a cabeça de pressão em metros de água (mca),
  • v^2/(2g) é a cabeça de velocidade (m),
  • h_f é a perda de carga (m).
  • Como p_1/\gamma=0 (pressão atmosférica), v_1\approx0, e p_2/\gamma=20\\ \mathrm{m}, isolamos h_f:
h_f = z_1 - z_2 - \frac{p_2}{\gamma} - \frac{v_2^2}{2g}.
  • Substituindo números:
z_1-z_2=150-100=50\\ \mathrm{m}.
\frac{v^2}{2g}=\frac{(1{,}65)^2}{2\cdot9{,}81}=\frac{2{,}7225}{19{,}62}=0{,}1388\\ \mathrm{m}.
h_{f,\max}=50-20-0{,}1388=29{,}8612\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a perda de carga total ao longo da tubulação não pode exceder \,29{,}86\\ \mathrm{m} se quisermos manter 20\\ \mathrm{mca} na chegada com a velocidade dada.

Passo 4

Calculo a perda de carga real na tubulação com o diâmetro candidato d=0{,}04995\\ \mathrm{m} usando Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{d}\,\frac{v^2}{2g},
onde f é o fator de atrito de Darcy (adimensional).
  • Primeiro obtenho o número de Reynolds para verificar o regime e estimar f:
    • Tomo a viscosidade cinemática da água \nu\approx1{,}0\cdot10^{-6}\\ \mathrm{m}^2\!/\mathrm{s}.
\mathrm{Re}=\frac{v d}{\nu}=\frac{1{,}65\cdot0{,}04995}{1{,}0\cdot10^{-6}}=82342\\ (\text{aprox.}).
  • Conclusão: fluxo turbulento (Re \sim8{,}2\cdot10^4).
  • Para PVC, a rugosidade absoluta típica pode ser tomada \varepsilon\approx1{,}5\cdot10^{-6}\\ \mathrm{m}. A razão relativa de rugosidade é:
\frac{\varepsilon}{d}=\frac{1{,}5\cdot10^{-6}}{0{,}04995}=3{,}00\cdot10^{-5},
muito pequena (tubo bem liso).
  • Estimativa prática do fator de atrito f: para este intervalo de Reynolds e tubos lisos a aproximação de Blasius é razoável:
f\approx\frac{0{,}3164}{\mathrm{Re}^{\,0{,}25}}.
f\approx\frac{0{,}3164}{(8{,}2342\cdot10^{4})^{0{,}25}}=0{,}01867\\ (\text{aprox.}).
  • Agora calculo h_f:
    • Primeiro \dfrac{v^2}{2g}=0{,}13884\\ \mathrm{m} (já calculado).
    • Razão L/d=\dfrac{500}{0{,}04995}=10005.
h_f = 0{,}01867\cdot10005\cdot0{,}13884 = 25{,}93\\ \mathrm{m}\\ (\text{aprox.}).

Passo 5

Comparo a perda calculada com a perda máxima permitida:
  • Perda permitida: h_{f,\max}=29{,}8612\\ \mathrm{m}.
  • Perda calculada para d\approx0{,}050\\ \mathrm{m}: h_f\approx25{,}93\\ \mathrm{m}.
Conclusão: h_f<h_{f,\max}, ou seja, com um tubo de diâmetro interno cerca de 0{,}050\\ \mathrm{m} a pressão de chegada será pelo menos 20\\ \mathrm{mca} quando a velocidade é 1{,}65\\ \mathrm{m/s}. Há uma folga de cerca de 29{,}86-25{,}93=3{,}93\\ \mathrm{m} de coluna de água disponível (não considerei perdas locais de acessórios; se houver muitas curvas, válvulas, etc., essas perdas devem ser somadas e talvez seja necessário aumentar um pouco o diâmetro).

Passo 6

Interpretação prática para escolha comercial em PVC:
  • O diâmetro interno calculado é \,d\approx0{,}050\\ \mathrm{m} (50 mm).
  • Em tubos comerciais de PVC normalmente escolhe-se o nominal mais próximo: tubo nominal de 50\\ \mathrm{mm} (DN50) tem diâmetro interno muito próximo do valor calculado (verifique tabela do fabricante para o diâmetro interno exato).
  • Se existirem muitos acessórios (curvas, válvulas) ou se quiser margem extra, pode optar por o próximo diâmetro comercial acima (por exemplo DN63) — isto reduziria ainda mais as perdas. Mas com os dados fornecidos e sem contabilizar perdas locais, DN50 atende aos requisitos.

Resposta

Diâmetro interno ≈ 0{,}050\\ \mathrm{m}. Usar tubo PVC nominal 50\\ \mathrm{mm} (DN50).

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