5- Um agricultor dispõe de uma caixa dágua de
para armazenamento de água que se situa na cota
e deseja levar água até as suas instalações zootécnicas situada em uma área distante do reservatório de 500 metros e de cota 100 m de maneira que a pressão de chegada, seja no mínimo 20 mca com uma velocidade final de
e vazão
Indique qual o diâmetro deverá ser usado pelo agricultor em material de PVC.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- Reservatório (superfície livre) na cota
. - Ponto de entrega na cota
. - Distância ao longo da tubulação
. - Pressão mínima de chegada
correspondendo a (20 metros de coluna d’água). - Velocidade final desejada na tubulação
. - Vazão fornecida
. - Materiais: tubo em PVC (usar rugosidade típica do PVC).
- Reservatório (superfície livre) na cota
- O que se pede:
- Indicar qual diâmetro deve ser usado (em PVC), verificando que com esse diâmetro a pressão de chegada seja pelo menos
quando a velocidade final é e a vazão é .
- Indicar qual diâmetro deve ser usado (em PVC), verificando que com esse diâmetro a pressão de chegada seja pelo menos
Passo 2
Primeiro converto unidades e calculo o diâmetro necessário se a velocidade deve ser exatamente
.
- Converter vazão para
:
- Área necessária para essa vazão a velocidade dada:
- Diâmetro interno correspondente (área de círculo):
Interpretação: se a tubulação tiver diâmetro interno aproximadamente
(50 mm), a velocidade será
para a vazão pedida.
Passo 3
Agora preciso verificar se esse diâmetro permite que, após as perdas ao longo dos
, ainda reste a pressão mínima de
na chegada. Para isso uso a equação de Bernoulli entre a superfície livre do reservatório (ponto 1) e o ponto de entrega (ponto 2), incluindo a perda de carga
:
- Escrevendo Bernoulli (assumindo superfície livre com pressão atmosférica e velocidade da superfície desprezível):
Aqui:
-
é a cota (m), -
é a cabeça de pressão em metros de água (mca), -
é a cabeça de velocidade (m), -
é a perda de carga (m). -
Como
(pressão atmosférica), , e , isolamos :
- Substituindo números:
Interpretação: a perda de carga total ao longo da tubulação não pode exceder
se quisermos manter
na chegada com a velocidade dada.
Passo 4
Calculo a perda de carga real na tubulação com o diâmetro candidato
usando Darcy–Weisbach:
onde
é o fator de atrito de Darcy (adimensional).
- Primeiro obtenho o número de Reynolds para verificar o regime e estimar
: - Tomo a viscosidade cinemática da água
.
- Tomo a viscosidade cinemática da água
-
Conclusão: fluxo turbulento (Re
). -
Para PVC, a rugosidade absoluta típica pode ser tomada
. A razão relativa de rugosidade é:
muito pequena (tubo bem liso).
- Estimativa prática do fator de atrito
: para este intervalo de Reynolds e tubos lisos a aproximação de Blasius é razoável:
- Agora calculo
: - Primeiro
(já calculado). - Razão
.
- Primeiro
Passo 5
Comparo a perda calculada com a perda máxima permitida:
- Perda permitida:
. - Perda calculada para
: .
Conclusão:
, ou seja, com um tubo de diâmetro interno cerca de
a pressão de chegada será pelo menos
quando a velocidade é
. Há uma folga de cerca de
de coluna de água disponível (não considerei perdas locais de acessórios; se houver muitas curvas, válvulas, etc., essas perdas devem ser somadas e talvez seja necessário aumentar um pouco o diâmetro).
Passo 6
Interpretação prática para escolha comercial em PVC:
- O diâmetro interno calculado é
(50 mm). - Em tubos comerciais de PVC normalmente escolhe-se o nominal mais próximo: tubo nominal de
(DN50) tem diâmetro interno muito próximo do valor calculado (verifique tabela do fabricante para o diâmetro interno exato). - Se existirem muitos acessórios (curvas, válvulas) ou se quiser margem extra, pode optar por o próximo diâmetro comercial acima (por exemplo DN63) — isto reduziria ainda mais as perdas. Mas com os dados fornecidos e sem contabilizar perdas locais, DN50 atende aos requisitos.
Resposta
Diâmetro interno ≈
. Usar tubo PVC nominal
(DN50).