1- Calcular a pressão necessária na saída de uma bomba centrífuga, para acionar um canhão hidráulico de vazão de 18 \mathrm{~m}^{3} \cdot \mathrm{~h}^{-1}, cuja pressão de serviço será 3,5 \mathrm{~atm} ( 35 mca ). O diâmetro da tubulação entre a bomba e o aspersor será de 75 mm , comprimento da tubulação 180 metros, material do tubo em PVC, altura da haste do tubo de subida 2,0 metros e diferença de nível entre a fonte de água e entrada do aspersor de 15,0 m (aclive).
Observação: É só um único canhão hidráulico funcionando.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Vazão: \displaystyle Q = 18\\ \mathrm{m^{3}\cdot h^{-1}}.
  • Pressão de serviço requerida no canhão: \displaystyle 3{,}5\\ \text{atm} \\ (\text{o enunciado indica }35\\ \text{mca}). Vou usar \displaystyle 35\\ \text{mca} como cabeça de pressão no bocal (mca = metros de coluna d’água).
  • Diâmetro da tubulação: \displaystyle D = 75\\ \mathrm{mm}.
  • Comprimento da tubulação: \displaystyle L = 180\\ \mathrm{m}.
  • Material: PVC (tubo liso, rugosidade muito pequena).
  • Altura da haste do tubo de subida: \displaystyle 2{,}0\\ \mathrm{m} (informação de geometria local).
  • Diferença de nível entre a fonte e a entrada do aspersor (aclive): \displaystyle \Delta z = 15{,}0\\ \mathrm{m}.
O que o exercício pede:
  • Calcular a pressão necessária na saída da bomba centrífuga (ou seja, a pressão que a bomba deve fornecer na sua saída) para que o canhão funcione com vazão e pressão de serviço indicadas, levando em conta perdas por atrito e elevação.
Observações sobre escolhas que farei sem perguntar:
  • Vou converter unidades para o SI (m, s).
  • Usarei a equação de energia (cabeça total) somando cabeça de serviço no canhão, a perda de carga por atrito na tubulação, perdas localizadas (estimadas) e a diferença de nível \Delta z.
  • Para a perda por atrito usarei a fórmula de Darcy–Weisbach com fator de atrito estimado por Blasius / Swamee–Jain (tubo PVC, escoamento turbulento moderado).
  • Como o enunciado não especifica número e tipo de conexões, vou estimar um coeficiente de perdas localizadas razoável e justificar.

Passo 2

Converter unidades e calcular velocidade no tubo (continuidade).
Converter vazão para \mathrm{m^{3}\,s^{-1}}:
Q = \frac{18}{3600} = 0{,}005\\ \mathrm{m^{3}\,s^{-1}}.
Diâmetro em metros:
D = 75\\ \mathrm{mm} = 0{,}075\\ \mathrm{m}.
Área da seção transversal (fórmula): \displaystyle A = \frac{\pi D^{2}}{4}. Explicando: é a área circular, cada variável significa:
  • \displaystyle A: área da seção [ \mathrm{m^{2}}],
  • \displaystyle D: diâmetro da tubulação [ \mathrm{m}].
Calcular:
A = \frac{\pi (0{,}075)^{2}}{4} \approx 0{,}0044179\\ \mathrm{m^{2}}.
Velocidade média no tubo (fórmula da continuidade): \displaystyle v = \frac{Q}{A}. Aqui:
  • \displaystyle v: velocidade média do fluido [ \mathrm{m\,s^{-1}}].
Calcular:
v = \frac{0{,}005}{0{,}0044179} \approx 1{,}132\\ \mathrm{m\,s^{-1}}.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds e decidir o regime de escoamento; isso nos diz qual fórmula usar para o fator de atrito.
Fórmula do número de Reynolds: \displaystyle \mathrm{Re} = \frac{vD}{\nu}, onde:
  • \displaystyle \nu é a viscosidade cinemática da água ( \approx 1{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}\,s^{-1}} à temperatura ambiente).
Calcular:
\mathrm{Re} = \frac{1{,}132 \times 0{,}075}{1{,}0\times 10^{-6}} \approx 84\,900.
Interpretação: \mathrm{Re}\gg 4000 indica escoamento turbulento. Para tubos PVC e esse Re, o atrito é controlado pelo regime turbulento em tubo praticamente liso. Podemos usar fórmula explícita (Blasius para primeira aproximação ou Swamee–Jain para incluir rugosidade).

Passo 4

Estimar rugosidade e calcular o fator de atrito \displaystyle f.
Rugosidade típica para PVC: \displaystyle k \approx 0{,}0015\\ \mathrm{mm} = 1{,}5\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Relação de rugosidade relativa: \displaystyle \frac{k}{D} \approx \frac{1{,}5\times 10^{-6}}{0{,}075} \approx 2{,}0\times 10^{-5} (muito pequena).
Método escolhido: Blasius é simples e adequado para \mathrm{Re} entre \sim 4{,}000 e 10^{5} em tubos lisos. Blasius:
f \approx \frac{0{,}3164}{\mathrm{Re}^{0{,}25}}.
Calcular:
f \approx \frac{0{,}3164}{(84\,900)^{0{,}25}} \approx 0{,}0185.
Comentário didático: \displaystyle f é o fator de atrito adimensional de Darcy; ele aparece na perda de carga e depende de rugosidade relativa e Reynolds. A fórmula de Blasius é uma aproximação prática para tubos lisos em escoamento turbulento moderado.

Passo 5

Calcular perda de carga por atrito ao longo do comprimento (Darcy–Weisbach).
Fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga por atrito:
h_{f} = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^{2}}{2g},
onde:
  • \displaystyle h_{f} é a perda por atrito (m),
  • \displaystyle L é o comprimento da tubulação (m),
  • \displaystyle D é o diâmetro (m),
  • \displaystyle v é a velocidade média (m/s),
  • \displaystyle g é a gravidade ( \approx 9{,}81\\ \mathrm{m\,s^{-2}}).
Calcular termo dinâmico:
\frac{v^{2}}{2g} = \frac{(1{,}132)^{2}}{2\times 9{,}81} \approx 0{,}06535\\ \mathrm{m}.
Razão L/D:
\frac{L}{D}=\frac{180}{0{,}075}=2400.
Agora h_{f}:
h_{f} \approx 0{,}0185 \times 2400 \times 0{,}06535 \approx 2{,}91\\ \mathrm{m}.
Interpretação: a perda por atrito ao longo de 180 m de tubo de 75 mm com essa vazão é cerca de 2{,}9\\ \mathrm{m} de coluna de água — pequeno relativamente à cabeça de serviço.

Passo 6

Estimativa de perdas localizadas (junções, curvas, válvula, entrada/saída, haste etc.).
Explicação didática: perdas localizadas são modeladas por um coeficiente K adimensional para cada peça; a perda localizada é \displaystyle h_{m}=K\frac{v^{2}}{2g}. O enunciado não descreve peças, então faço uma estimativa prudente e documentada: suponho perdas localizadas equivalentes a K_{\text{total}}\approx 2{,}0. Justificativa curta (valor típico para um conjunto moderado de conexões e um bocal): por exemplo, entrada/saída K\sim 0{,}5, algumas curvas e união K\sim 1{,}0 no total, mais pequenos componentes totalizando ~ 0{,}5 → soma ~ 2{,}0. Se no seu caso houver mais conexões, esse K deve aumentar.
Calcular:
h_{m} = K_{\text{total}}\frac{v^{2}}{2g} = 2{,}0\times 0{,}06535 \approx 0{,}1307\\ \mathrm{m}.
Comentário: essa perda é pequena (cerca de 0,13 m), mas incluímos por completude.

Passo 7

Somar todas as cabeças para obter a cabeça total que a bomba deve fornecer.
Componentes da cabeça total \displaystyle H_{\text{bomba}} (em metros de coluna d’água):
  • Cabeça requerida no canhão (pressão de serviço): \displaystyle H_{\text{canhão}} = 35{,}0\\ \mathrm{m}ã (dado).
  • Diferença de nível (elevação): \displaystyle \Delta z = 15{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Perda por atrito: \displaystyle h_{f}\approx 2{,}91\\ \mathrm{m}.
  • Perdas localizadas: \displaystyle h_{m}\approx 0{,}13\\ \mathrm{m}.
Somando:
H_{\text{bomba}} = H_{\text{canhão}} + \Delta z + h_{f} + h_{m} \approx 35{,}0 + 15{,}0 + 2{,}91 + 0{,}13 = 53{,}04\\ \mathrm{m}.ã
Interpretação: a bomba precisa fornecer cerca de 53{,}0\\ \mathrm{m} de coluna d’água na saída (cabeça total).

Passo 8

Converter a cabeça em pressão (unidades práticas) e apresentar resultado final.
Relação entre pressão e cabeça: \displaystyle p = \rho g H, onde:
  • \displaystyle \rho é a densidade da água (usa-se \displaystyle 1000\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}),
  • \displaystyle g \approx 9{,}81\\ \mathrm{m\,s^{-2}},
  • \displaystyle H em metros.
Calcular pressão (Pa):
p = 1000 \times 9{,}81 \times 53{,}04 \approx 520{,}0\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa} = 520{,}0\\ \mathrm{kPa}.
Converter para atm e bar (para referência):
\text{pressão em atm} = \frac{520{,}0\\ \mathrm{kPa}}{101{,}325\\ \mathrm{kPa}} \approx 5{,}13\\ \text{atm}.ã
\text{pressão em bar} \approx \frac{520{,}0\\ \mathrm{kPa}}{100{,}0\\ \mathrm{kPa}} = 5{,}20\\ \text{bar}.ã
Resumo numérico (arredondado com 3 dígitos significativos):
  • Cabeça total requerida: \displaystyle H_{\text{bomba}}\approx 53{,}0\\ \mathrm{mca}.
  • Pressão na saída da bomba (gauge/absoluta relativa ao nível de referência atmosférica): \displaystyle p\approx 520\\ \mathrm{kPa}\\ (\approx 5{,}13\\ \text{atm} \approx 5{,}20\\ \text{bar}).
Observações finais e incentivo:
  • O maior termo aqui é a soma da cabeça do canhão com a elevação (35 + 15 = 50 m). As perdas por atrito são pequenas devido ao diâmetro razoável e vazão baixa.
  • Se na instalação existirem muitas curvas, válvulas parcialmente fechadas ou mangueiras, aumente K_{\text{total}} e recalcule; cada 0,5 em K adiciona cerca de 0{,}033\\ \mathrm{m} por unidade de v^{2}/2g (aqui pouco).
  • Se quiser eu refaço com outro valor de K_{\text{total}} ou considerando perda extra na haste de subida explicitamente — mas para a prova, essa abordagem (listar termos, usar Darcy–Weisbach e converter) é a forma correta e rápida.

Resposta

\displaystyle H_{\text{bomba}}\approx 53{,}0\\ \mathrm{mca}\quad\Rightarrow\quad p\approx 520\\ \mathrm{kPa}\\ (\approx 5{,}13\\ \text{atm})

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