Encontre os valores máximo e mínimo de:
f(x, y)=x^{3}-6 x y sujeito à restrição x^{2}+2 y^{2}=25.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os valores máximo e mínimo de f(x,y)=x^{3}-6xy sujeitos à restrição x^{2}+2y^{2}=25.
Informações dadas:
  • A função a otimizar é f(x,y)=x^{3}-6xy.
  • A restrição é a curva elíptica \;x^{2}+2y^{2}=25.
  • Pergunta explícita: quais são os pontos (x,y) na restrição onde f atinge valor máximo e valor mínimo, e quais são esses valores de f.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (explicada devagar e sem pular etapas).
Quando temos uma função f(x,y) a ser otimizada sujeita a uma restrição do tipo g(x,y)= constante, uma técnica padrão é multiplicadores de Lagrange. A ideia é buscar pontos onde o gradiente de f é paralelo ao gradiente de g; ou seja, existe \lambda tal que
\nabla f(x,y)=\lambda\,\nabla g(x,y).
Isto significa resolver o sistema formado pelas duas equações das componentes do gradiente mais a equação da restrição.
Vou aplicar esse método passo a passo. Se nunca viu, pense assim: \nabla f aponta na direção de maior crescimento de f; na fronteira imposta por g=constante, num extremo (máximo ou mínimo), a direção de maior crescimento de f tem que ser normal à fronteira, e o normal da fronteira é \nabla g. Por isso a condição de paralelismo.

Passo 3

Calcular gradientes e escrever o sistema de Lagrange.
Primeiro calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-6y, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=-6x.
Para a restrição g(x,y)=x^{2}+2y^{2} temos
\frac{\partial g}{\partial x}=2x, \qquad \frac{\partial g}{\partial y}=4y.
A condição \nabla f=\lambda\nabla g dá o sistema (além da restrição)
\begin{cases} 3x^{2}-6y=2\lambda x,\\[4pt] -6x=4\lambda y,\\[4pt] x^{2}+2y^{2}=25. \end{cases}]

Passo 4

Analisar casos especiais simples: y=0 e x=0.
Caso y=0: a restrição torna-se x^{2}=25\Rightarrow x=\pm5.
  • Em (5,0): f(5,0)=5^{3}-6\cdot5\cdot0=125.
  • Em (-5,0): f(-5,0)=(-5)^{3}-6(-5)\cdot0=-125.
Caso x=0: a restrição dá 2y^{2}=25\Rightarrow y=\pm\frac{5}{\sqrt{2}}.
  • Em \left(0,\pm\frac{5}{\sqrt{2}}\right): f=0^{3}-6\cdot0\cdot y=0.
Esses quatro pontos são candidatos (pontos onde as equações de Lagrange podem falhar porque multiplicadores foram divididos por zero em deduções futuras). Ainda precisamos achar os candidatos com x\neq0 e y\neq0.

Passo 5

Resolver o sistema para x\neq0 e y\neq0 (eliminação de \lambda).
Das duas primeiras equações obtemos \lambda em cada uma:
\lambda=\frac{3x^{2}-6y}{2x}\quad(\text{se }x\neq0), \qquad \lambda=\frac{-6x}{4y}=\frac{-3x}{2y}\quad(\text{se }y\neq0).
Igualando as duas expressões de \lambda,
\frac{3x^{2}-6y}{2x}=\frac{-3x}{2y}.
Multiplicando ambos os lados por 2x y (não nulo porque x\neq0,y\neq0):
y(3x^{2}-6y)=-3x^{2}.
Desenvolvendo e simplificando:
3x^{2}y-6y^{2}=-3x^{2} \quad\Rightarrow\quad 3x^{2}(y+1)-6y^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}(y+1)=2y^{2}.
Logo, para soluções com x\neq0 e y\neq0 vale
x^{2}=\frac{2y^{2}}{y+1},\qquad\text{(observe: }y\neq-1\text{).}

Passo 6

Substituir a expressão de x^{2} na restrição para obter uma equação apenas em y.
A restrição é x^{2}+2y^{2}=25. Substituindo x^{2}=\dfrac{2y^{2}}{y+1} obtemos
\frac{2y^{2}}{y+1}+2y^{2}=25.
Multiplicando por y+1:
2y^{2}+2y^{2}(y+1)=25(y+1).
Ou seja
2y^{3}+4y^{2}-25y-25=0.
Temos então um polinômio cúbico em y. Vamos encontrar suas raízes reais (a conta algébrica exata daria uma forma teórica; aqui procedemos para localizar numericamente as raízes reais e verificar quais geram x^{2}\ge0).

Passo 7

Resolução numérica do cúbico e validação das soluções (passos explicados).
O polinômio
P(y)=2y^{3}+4y^{2}-25y-25
tem três raízes reais aproximadas (fazendo divisão sintética / método de Newton / inspeção numérica):
y\approx 3{,}1756,\quad y\approx -0{,}9251,\quad y\approx -4{,}2505.
Agora verificar x^{2}=\dfrac{2y^{2}}{y+1} para cada:
  • Para y\approx 3{,}1756: y+1\approx 4{,}1756, y^{2}\approx 10{,}084.
    x^{2}=\frac{2\cdot10{,}084}{4{,}1756}\approx4{,}830,\quad x\approx\pm2{,}1973.
    Avaliando f em (x,y)=(2{,}1973,3{,}1756) e em (-2{,}1973,3{,}1756):
    f(2{,}1973,3{,}1756)\approx -31{,}259,\qquad f(-2{,}1973,3{,}1756)\approx +31{,}259.
  • Para y\approx -0{,}9251: y+1\approx 0{,}0749, y^{2}\approx 0{,}8557.
    x^{2}=\frac{2\cdot0{,}8557}{0{,}0749}\approx22{,}842,\quad x\approx\pm4{,}7796.
    Avaliando f em (x,y)=(4{,}7796,-0{,}9251) e em (-4{,}7796,-0{,}9251):
    f(4{,}7796,-0{,}9251)\approx 135{,}757,\qquad f(-4{,}7796,-0{,}9251)\approx -135{,}757.
  • Para y\approx -4{,}2505: y+1\approx -3{,}2505, y^{2}\approx 18{,}063.
    x^{2}=\frac{2\cdot18{,}063}{-3{,}2505}\approx -11{,}112,
    o que é impossível para x^{2} real. Portanto essa raiz do cúbico não dá ponto admissível na restrição (foi introduzida pela manipulação algébrica e deve ser descartada).
Portanto, os candidatos viáveis (incluindo casos especiais do Passo 4) são:
(5,0),\\ (-5,0),\\ \left(0,\pm\frac{5}{\sqrt{2}}\right),\\ (\pm2{,}1973,\,3{,}1756),\\ (\pm4{,}7796,\,-0{,}9251).

Passo 8

Comparação dos valores de f nos pontos críticos para escolher máximo e mínimo globais.
Listando os valores calculados:
\begin{aligned} f(5,0)&=125,\\\ f(-5,0)&=-125,\\\ f\!\left(0,\pm\frac{5}{\sqrt{2}}\right)&=0,\\\ f(2{,}1973,3{,}1756)&\approx -31{,}259,\\\ f(-2{,}1973,3{,}1756)&\approx +31{,}259,\\\ f(4{,}7796,-0{,}9251)&\approx +135{,}757,\\\ f(-4{,}7796,-0{,}9251)&\approx -135{,}757. \end{aligned}
Comparando, o maior valor é aproximadamente 135{,}757 em (x,y)\approx(4{,}7796,-0{,}9251), e o menor é aproximadamente -135{,}757 em (x,y)\approx(-4{,}7796,-0{,}9251).
Conclusão: extremos globais acontecem nos pontos indicados acima (os pontos em que x tem sinal oposto dão valores simetricamente opostos de f).

Resposta

Máximo: f_{\max}\approx 135{,}757 em (x,y)\approx (4{,}7796,\,-0{,}9251)
Mínimo: f_{\min}\approx -135{,}757 em (x,y)\approx (-4{,}7796,\,-0{,}9251)

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