Encontre os valores máximo e mínimo de: f(x, y)=x^{3}-6 x y sujeito à restrição x^{2}+2 y^{2}=25.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar os valores máximo e mínimo de f(x,y)=x^{3}-6xy sujeitos à restrição x^{2}+2y^{2}=25.
Informações dadas:
A função a otimizar é f(x,y)=x^{3}-6xy.
A restrição é a curva elíptica \;x^{2}+2y^{2}=25.
Pergunta explícita: quais são os pontos (x,y) na restrição onde f atinge valor máximo e valor mínimo, e quais são esses valores de f.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (explicada devagar e sem pular etapas).
Quando temos uma função f(x,y) a ser otimizada sujeita a uma restrição do tipo g(x,y)= constante, uma técnica padrão é multiplicadores de Lagrange. A ideia é buscar pontos onde o gradiente de f é paralelo ao gradiente de g; ou seja, existe \lambda tal que
\nabla f(x,y)=\lambda\,\nabla g(x,y).
Isto significa resolver o sistema formado pelas duas equações das componentes do gradiente mais a equação da restrição.
Vou aplicar esse método passo a passo. Se nunca viu, pense assim: \nabla f aponta na direção de maior crescimento de f; na fronteira imposta por g=constante, num extremo (máximo ou mínimo), a direção de maior crescimento de f tem que ser normal à fronteira, e o normal da fronteira é \nabla g. Por isso a condição de paralelismo.
Passo 3
Calcular gradientes e escrever o sistema de Lagrange.
Caso y=0: a restrição torna-se x^{2}=25\Rightarrow x=\pm5.
Em (5,0): f(5,0)=5^{3}-6\cdot5\cdot0=125.
Em (-5,0): f(-5,0)=(-5)^{3}-6(-5)\cdot0=-125.
Caso x=0: a restrição dá 2y^{2}=25\Rightarrow y=\pm\frac{5}{\sqrt{2}}.
Em \left(0,\pm\frac{5}{\sqrt{2}}\right): f=0^{3}-6\cdot0\cdot y=0.
Esses quatro pontos são candidatos (pontos onde as equações de Lagrange podem falhar porque multiplicadores foram divididos por zero em deduções futuras). Ainda precisamos achar os candidatos com x\neq0 e y\neq0.
Passo 5
Resolver o sistema para x\neq0 e y\neq0 (eliminação de \lambda).
Das duas primeiras equações obtemos \lambda em cada uma:
Substituir a expressão de x^{2} na restrição para obter uma equação apenas em y.
A restrição é x^{2}+2y^{2}=25. Substituindo x^{2}=\dfrac{2y^{2}}{y+1} obtemos
\frac{2y^{2}}{y+1}+2y^{2}=25.
Multiplicando por y+1:
2y^{2}+2y^{2}(y+1)=25(y+1).
Ou seja
2y^{3}+4y^{2}-25y-25=0.
Temos então um polinômio cúbico em y. Vamos encontrar suas raízes reais (a conta algébrica exata daria uma forma teórica; aqui procedemos para localizar numericamente as raízes reais e verificar quais geram x^{2}\ge0).
Passo 7
Resolução numérica do cúbico e validação das soluções (passos explicados).
O polinômio
P(y)=2y^{3}+4y^{2}-25y-25
tem três raízes reais aproximadas (fazendo divisão sintética / método de Newton / inspeção numérica):
o que é impossível para x^{2} real. Portanto essa raiz do cúbico não dá ponto admissível na restrição (foi introduzida pela manipulação algébrica e deve ser descartada).
Portanto, os candidatos viáveis (incluindo casos especiais do Passo 4) são:
Comparando, o maior valor é aproximadamente 135{,}757 em (x,y)\approx(4{,}7796,-0{,}9251), e o menor é aproximadamente -135{,}757 em (x,y)\approx(-4{,}7796,-0{,}9251).
Conclusão: extremos globais acontecem nos pontos indicados acima (os pontos em que x tem sinal oposto dão valores simetricamente opostos de f).
Resposta
Máximo: f_{\max}\approx 135{,}757 em (x,y)\approx (4{,}7796,\,-0{,}9251)
Mínimo: f_{\min}\approx -135{,}757 em (x,y)\approx (-4{,}7796,\,-0{,}9251)