Um agricultor possui 150 metros de tela para cercar uma horta em formato retangular. Para isso, ele utilizará um muro como um dos lados da horta. As dimensões da horta que tem a maior área possível são:
(a) 50 e 50
(b) 75 e 75
© 40 e 100
(d) 37,5 e 75
(e) nenhuma das alternativas
(a) 50 e 50
(b) 75 e 75
© 40 e 100
(d) 37,5 e 75
(e) nenhuma das alternativas
Passo 1
O problema diz que um agricultor quer cercar uma horta retangular usando um muro como um dos lados e tem 150 m de tela para as outras três faces. O conteúdo é otimização de área, e vamos precisar modelar a área em função de uma variável e depois usar derivada para achar o máximo.
Passo 2
Vamos chamar de x a largura da horta (os dois lados perpendiculares ao muro) e de L o comprimento (o lado oposto ao muro). Como só usamos tela em dois lados de comprimento x e em um de comprimento L, a condição de perímetro é:
Isolando L, temos
Passo 3
A área A em função de x é dada por
Para achar o valor de x que maximiza A, calculamos a derivada
E igualamos a zero para encontrar o ponto crítico:
Como o coeficiente de x^2 em A(x) é negativo, esse ponto de fato é um máximo.
Passo 4
Agora que sabemos que a largura x ótima é 37{,}5 m, calculamos o comprimento L:
Logo, as dimensões que dão a maior área são 37,5 m e 75 m.
Resposta
37,5 e 75