Utilize as regras de derivação para calcular a derivada de primeira ordem:
f(x)=raizcos 3 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada de . Aqui, estamos trabalhando com derivadas de funções compostas. Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que ajuda a derivar funções que têm dentro delas outras funções. Vamos precisar lembrar como derivar funções trigonométricas e como lidar com potências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. A raiz quadrada pode ser expressa como uma potência:
f(x) = (cos 3x)^12
Isso nos ajuda a aplicar melhor a regra da cadeia.

Passo 3

Agora, aplicamos a regra da cadeia, que diz que a derivada de uma função composta é a derivada da função externa multiplicada pela derivada da função interna. No nosso caso, a função externa é e a função interna é .

Passo 4

Vamos derivar a função externa em relação à função interna. Se ddu (u^12) = 12 u^-12 , então:
12 (cos 3x)^-12
Ou seja,

Passo 5

Agora, precisamos derivar a função interna ddx (cos 3x) = -3 sin 3x em relação a . A derivada de é:
Isso porque usamos a derivada da função cosseno e a regra da cadeia novamente para o .

Passo 6

Multiplicamos as duas derivadas que encontramos usando a regra da cadeia:
f'(x) = 12 (cos 3x)^-12 cdot (-3 sin 3x)
Simplificando a expressão:
f'(x) = -32 sin 3xraizcos 3x

Resposta

A derivada de f'(x) = -32 sin 3xraizcos 3x é:

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