Calcule as seguintes integrais definidas usando somas de Riemann:
(a) integral0^1 3 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral0^13x,dx usando somas de Riemann. O conteúdo necessário é a definição de integral definida como limite de somas de Riemann e a fórmula da soma dos primeiros n inteiros.

Passo 2

Pela definição, temos
integral0^13x,dx = limntoinfty sumi=1^n f(xi),De
onde f(x)=3x e vamos escolher xi à direita de cada subintervalo.

Passo 3

Dividimos [0,1] em n subintervalos de largura
De
e tomamos xi = iDe.

Passo 4

Em cada ponto escolhi temos
f(xi) = 3xi = 3in,
e a soma de Riemann fica
Sn = sumi=1^n 3in cdot 1n = 3n^2 sumi=1^n i

Passo 5

Usando a fórmula da soma dos primeiros n inteiros,
sumi=1^n i = n(n+1)2,
segue
Sn = 3n^2 cdot n(n+1)2 = 3(n+1)2n

Passo 6

Finalmente, tomamos o limite quando ntoinfty:
limntoinfty 3(n+1)2n = 32

Resposta

32

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