Um agricultor tem 1200 cm de cerca para construir um chiqueiro retangular para porcos. De que forma deve-se organizar o espaço para que a área seja máxima?

Passo 1

O enunciado pede um chiqueiro retangular com perímetro de 1200,cm de cerca, e queremos organizar esse retângulo para que a área seja máxima. O conteúdo envolvido é otimização de funções quadráticas, que pode ser feito via derivada ou analisando o vértice de uma parábola.

Passo 2

Escolhemos as variáveis: seja l o comprimento e w a largura do retângulo, ambos em centímetros. A restrição do perímetro é
2(l + w) = 1200
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l + w = 600.

Passo 3

A área A do retângulo é
A = l \cdot w.
Usando w = 600 - l, escrevemos A em função de l:
A(l) = l\,(600 - l) = 600\,l - l^2.
Essa é uma parábola voltada para baixo, cuja concavidade indica que existe um único máximo.

Passo 4

Para encontrar o valor de l que maximiza A(l), usamos a derivada:
A'(l) = 600 - 2l.
Fazendo A'(l)=0 obtém-se
600 - 2l = 0 \quad\Longrightarrow\quad l = 300\text{ cm}.
Então
w = 600 - 300 = 300\text{ cm}.

Resposta

O chiqueiro de área máxima é um quadrado de 300,cm por 300,cm.

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