Sabendo que \lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e, determine:
\lim _{x \rightarrow 0^{-}}(1+2 x)^{3 / x}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to0^-}(1+2x)^{3/x}
Esse é um limite do tipo 1^\infty. Para resolver, vamos usar a forma equivalente
\lim_{u\to0}(1+u)^{1/u}=e
e reescrever a potência de modo a identificar essa estrutura.

Passo 2

Note que
\frac{3}{x}=\frac{6}{2x},
então podemos escrever
(1+2x)^{3/x} =\bigl[(1+2x)^{1/(2x)}\bigr]^{6}.

Passo 3

Aplicando o limite conhecido com u=2x, que tende a 0 (pela esquerda ou direita não altera o valor de e), obtemos
\lim_{x\to0^-}(1+2x)^{1/(2x)}=e.

Passo 4

Como a base tende a e, a potência inteira dá
\lim_{x\to0^-}(1+2x)^{3/x} =\bigl(\lim_{x\to0^-}(1+2x)^{1/(2x)}\bigr)^{6} =e^{6}.

Resposta

e^{6}

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