Determine o \lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{2 x-5}{\sqrt{x^{2}+3 x-1}}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{x\to -\infty} \frac{2x-5}{\sqrt{x^2+3x-1}}.
O conteúdo aqui é cálculo de limite no infinito envolvendo função racional e raiz quadrada. Vamos usar fatoração de x^2 dentro da raiz e o comportamento de \lvert x\rvert quando x\to-\infty.

Passo 2

Dentro da raiz, fatoramos x^2:
\sqrt{x^2+3x-1} = \sqrt{x^2\Bigl(1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}\Bigr)} = |x|\;\sqrt{1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}}.
Como x\to -\infty, temos x<0 e, portanto, \lvert x\rvert=-x.

Passo 3

Substituindo na expressão do limite:
\frac{2x-5}{\sqrt{x^2+3x-1}} = \frac{2x-5}{-x\;\sqrt{1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}}} = -\,\frac{2x-5}{x}\;\frac{1}{\sqrt{1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}}}.

Passo 4

Agora, observe que
\frac{2x-5}{x}=2-\frac{5}{x},
e, para x\to -\infty, \frac{5}{x}\to0 e
\sqrt{1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}}\;\to\;1.
Logo,
-\,\frac{2x-5}{x}\;\frac{1}{\sqrt{1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}}} \;\longrightarrow\; -\,(2-0)\;\frac{1}{1} =-2.

Resposta

-2

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