A swimming pool is circular with a
diameter. The depth is constant along east-west lines and increases linearly from 2 ft at the south end to 7 ft at the north end. Find the volume of water in the pool.
Passo 1
O enunciado pede o volume de uma piscina circular de diâmetro 40 ft (raio 20 ft) em que a profundidade varia linearmente de 2 ft no sul a 7 ft no norte. O conteúdo envolve integrais duplas ou, pela simetria leste-oeste, uma integral simples em função da coordenada norte-sul (y).
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas com origem no centro da piscina, eixo y apontando para o norte e x para o leste. O domínio horizontal é a circunferência x²+y²≤20². Como a profundidade depende só de y e varia linearmente, escrevemos:
com as condições
obtemos
e
, logo
Passo 3
O volume é
[V=\iint_{x2+y2\le20^2}d(y),dA.,]
Usando integração em faixas de y, isso vira
Usando integração em faixas de y, isso vira
Passo 4
Substituindo
e separando as partes,
Passo 5
A primeira integral é zero (função ímpar). A segunda é a área de meia circunferência de raio 20:
Passo 6
Logo
Resposta
1800\pift^3