A swimming pool is circular with a 40-ft diameter. The depth is constant along east-west lines and increases linearly from 2 ft at the south end to 7 ft at the north end. Find the volume of water in the pool.

Passo 1

O enunciado pede o volume de uma piscina circular de diâmetro 40 ft (raio 20 ft) em que a profundidade varia linearmente de 2 ft no sul a 7 ft no norte. O conteúdo envolve integrais duplas ou, pela simetria leste-oeste, uma integral simples em função da coordenada norte-sul (y).

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas com origem no centro da piscina, eixo y apontando para o norte e x para o leste. O domínio horizontal é a circunferência x²+y²≤20². Como a profundidade depende só de y e varia linearmente, escrevemos:
d(y)=a,y+b,
com as condições d(-20)=2 e d(20)=7. Resolvendo o sistema
a(-20)+b=2,a(20)+b=7,
obtemos a=1/8 e b=4.5, logo
d(y)=18y+4.5

Passo 3

O volume é
[V=\iint_{x2+y2\le20^2}d(y),dA.,]
Usando integração em faixas de y, isso vira
V=integraly=-20^20gl(integralx=-raiz400-y^2^raiz400-y^2d(y),dxgr)dy=integral-20^20d(y)cdot2raiz400-y^2,dy

Passo 4

Substituindo d(y) e separando as partes,
V=2integral-20^20l(tfrac18y+4.5r)raiz400-y^2,dy=2l(tfrac18underbraceintegral-20^20yraiz400-y^2,dy0+4.5integral-20^20raiz400-y^2,dyr)

Passo 5

A primeira integral é zero (função ímpar). A segunda é a área de meia circunferência de raio 20:
integral-20^20raiz400-y^2,dy=pi,20^22=200pi

Passo 6

Logo
V=2times4.5times200pi=1800pi

Resposta

1800\pift^3

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