Um agrimensor usa uma fita de aço de 50,000 \mathrm{~m} de comprimento a uma temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}. a) Qual o comprimento da fita em um dia de verão quando a temperatura é igual a 35^{\circ} \mathrm{C} ? b) Supondo agora que o agrimensor usa essa fita para medir uma distância quando a temperatura é de 35^{\circ} \mathrm{C}, tendo o valor lido igual a 35,794 \mathrm{~m}. Qual a distância real, considerando que a fita foi calibrada para uso a 20 { }^{\circ} \mathrm{C} ? R. (a) \mathrm{L}=50,0009 \mathrm{~m}; (b) \mathrm{d}_{\text {real }}=35,800 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá uma fita de aço com comprimento de referência
\ell_{0}=50{,}000 m à temperatura de 20^\circ\mathrm{C}.
Pede-se:
– (a) o novo comprimento da fita a 35^\circ\mathrm{C};
– (b) se nessa temperatura a leitura da fita for 35{,}794 m, qual é a distância real (a fita foi calibrada para 20^\circ\mathrm{C}).
Para resolver vamos usar a fórmula da expansão linear:
\ell = \ell_{0}\,(1 + \alpha\,\Delta T),
onde \alpha é o coeficiente de expansão linear do aço e \Delta T = T - T_{0}.

Passo 2

(a) Calcular o comprimento da fita a 35^\circ\mathrm{C}.
A variação de temperatura é
\Delta T = 35 - 20 = 15\;^\circ\mathrm{C}.
Tomando o coeficiente de expansão linear do aço como
\displaystyle \alpha = 1{,}2\times10^{-5}\,/^\circ\mathrm{C},
temos
\ell = 50{,}000\;\bigl(1 + 1{,}2\times10^{-5}\times15\bigr) = 50{,}000\;(1 + 0{,}00018) \approx 50{,}0009\;\text{m}.

Passo 3

(b) Corrigir a leitura feita a 35^\circ\mathrm{C}.
Quando a fita se expande, cada divisão fica um pouco maior, então se lermos um valor
\ell_{\rm lida}=35{,}794 m, a distância real é maior por esse mesmo fator de expansão:
d_{\rm real} = \ell_{\rm lida}\,(1 + \alpha\,\Delta T) = 35{,}794\;\bigl(1 + 1{,}2\times10^{-5}\times15\bigr) \approx 35{,}800\;\text{m}.

Resposta

(a) L = 50{,}0009 m
(b) d_{\rm real} = 35{,}800 m

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