Uma dada particula \alpha se aproxima frontalmente de um núcleo de chumbo, e para a uma distância de 5,0 \times 10^{-14} \mathrm{~m} docentro desse núcleo. O chumbo possui 82 prótons e permanece em repouso após a colisão. Qual é a energia cinética inicial da particula \alpha ?

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula \alpha (carga q_\alpha) se aproxima de um núcleo de chumbo com 82 prótons (carga q_{\mathrm{Pb}}) e, devido à repulsão eletrostática, para a uma distância r=5,0\times10^{-14}\,\mathrm{m} do centro do núcleo. Vamos usar conservação de energia mecânica: a energia cinética inicial da partícula se transforma totalmente em energia potencial elétrica no ponto de retorno.

Passo 2

Pela conservação de energia,
K_{\mathrm{i}} \;=\; U(r)
onde K_{\mathrm{i}} é a energia cinética inicial e
U(r) \;=\; k \,\frac{q_\alpha\,q_{\mathrm{Pb}}}{r}
é a energia potencial eletrostática entre as cargas, com
k = 8,988\times10^{9}\,\mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}\,.

Passo 3

As cargas envolvidas são
q_\alpha = 2e, \quad q_{\mathrm{Pb}} = 82e, \quad e = 1,602\times10^{-19}\,\mathrm{C}.
Logo,
q_\alpha\,q_{\mathrm{Pb}} = 2e \times 82e = 164\,e^2.

Passo 4

Vamos calcular U(r) passo a passo. Primeiro,
e^2 = (1,602\times10^{-19})^2 \approx 2,566\times10^{-38}\,\mathrm{C^2}.
Então
164\,e^2 \approx 164 \times 2,566\times10^{-38} = 4,21\times10^{-36}\,\mathrm{C^2}.
Substituindo em U(r):
U(r) = \frac{8,988\times10^{9}\times4,21\times10^{-36}}{5,0\times10^{-14}} \approx 7,57\times10^{-13}\,\mathrm{J}.

Passo 5

Para expressar em elétron-volts, usamos 1\,\mathrm{eV} = 1,602\times10^{-19}\,\mathrm{J}:
K_{\mathrm{i}} = \frac{7,57\times10^{-13}\,\mathrm{J}}{1,602\times10^{-19}\,\mathrm{J/eV}} \approx 4,7\times10^{6}\,\mathrm{eV} = 4,7\,\mathrm{MeV}.

Resposta

A energia cinética inicial da partícula \alpha é aproximadamente
K_{\mathrm{i}} = 7,57\times10^{-13}\,\mathrm{J} \quad\bigl(\approx 4,7\,\mathrm{MeV}\bigr).

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