Um agrimensor usa uma fita de aço para realizar medidas. Suponha que a fita tenha sido calibrada em uma temperatura T_{0}, apresentando um comprimento total L_{0}. Em um dia de verão quando a temperatura é igual a T , o agrimensor mede a distância entre dois pontos, obtendo \mathrm{d}_{\mathrm{m}}.
(a) Mostre que a distância real (que seria lida na fita caso fosse usada na temperatura de calibração) é dada por:
d_{\text {real }}=\frac{L}{L_{0}} d_{m}
onde L corresponde ao comprimento da fita na temperatura T;
(b) Considerando \mathrm{T}_{0}=20^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{T}=35^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{d}_{\mathrm{m}}=35,794 \mathrm{~m}, calcule a distância real medida pelo agrimensor. O coeficiente de dilatação linear do aço é \alpha=1,2 \times 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}

Passo 1

O enunciado trata da dilatação térmica de uma fita de aço calibrada inicialmente à temperatura \,T_{0} com comprimento total \,L_{0}. Em uma temperatura \,T, a fita se expande para um comprimento \,L e, ao medir uma distância, lê-se \,d_{m} na fita quente. Precisamos (a) relacionar essa leitura \,d_{m} com a distância real \,d_{\text{real}} (isto é, a que seria lida na temperatura de calibração) e (b) calcular numericamente \,d_{\text{real}} para dados específicos usando o coeficiente de dilatação linear do aço.

Passo 2

Pela definição de dilatação linear, o comprimento da fita a T é
L = L_{0}\bigl[1 + \alpha\,(T - T_{0})\bigr]
onde \alpha é o coeficiente de dilatação linear.

Passo 3

Como todas as graduação da fita se expandem uniformemente, cada marca que originalmente media 1 m passa a medir \tfrac{L}{L_{0}} metros reais. Se ao usar a fita quente o agrimensor lê uma distância \,d_{m} (em metros marcados na fita), a distância real é
d_{\text{real}} = \frac{L}{L_{0}}\;d_{m}.

Passo 4

Para os dados \,T_{0}=20^\circ\mathrm{C}, \,T=35^\circ\mathrm{C} e \alpha=1,2\times10^{-5}\!~^\circ\mathrm{C}^{-1}, temos
\Delta T = T - T_{0} = 35 - 20 = 15~^\circ\mathrm{C},
\frac{L}{L_{0}} = 1 + \alpha\,\Delta T = 1 + (1{,}2\times10^{-5})(15) = 1 + 1{,}8\times10^{-4} = 1{,}00018.

Passo 5

Finalmente, com d_{m}=35{,}794 m,
d_{\text{real}} = 1{,}00018 \times 35{,}794 \approx 35{,}8004\;\text{m}.

Resposta

d_{\text{real}}\approx 35{,}8004\\ \mathrm{m}.

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