Uma máquina de Stirling usa n mols de um gás ideal como combustível. O processo pelo qual o gás passa é dado por quatro etapas:
  1. Expansão isotérmica em contato com a fonte quente a temperatura T_{1}, partindo do estado A para o estado B;
  2. Resfriamento isocórico, partindo do estado B para o estado C;
  3. Compressão isotérmica em contato com a fonte fria a temperatura T_{2}, partindo do estado C para o estado D;
  4. Aquecimento isocórico, partindo do estado D e retornando ao estado A, fechando, assim, o ciclo.
    (a) Represente o diagrama \mathrm{p}-\mathrm{V} para o ciclo descrito acima.
    (b) Em quais etapas o gás realiza trabalho e em quais etapas ele sofre trabalho? Calcule o trabalho líquido no processo;
    (c) Em quais etapas o gás absorve calor e em quais etapas o gás perde calor? Calcule o calor líquido no processo;
    (d) Em quais etapas existe a variação da energia interna do sistema? Qual a variação da energia interna no ciclo completo?
    (e) É possível afirmar que esta máquina respeita a 2 \underline{a} Lei da Termodinâmica? Justifique.

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo de Stirling usando n mols de gás ideal, com quatro etapas:
  1. expansão isotérmica a \,T_{1} de A\to B;
  2. resfriamento isocórico de B\to C;
  3. compressão isotérmica a \,T_{2} de C\to D;
  4. aquecimento isocórico de D\to A.
    Para resolver vamos usar a 1.ª Lei da Termodinâmica \Delta U = Q - W, as fórmulas de trabalho em processos isotérmicos e isocóricos, e a definição de energia interna de gás ideal \Delta U = n\,C_{V}\,\Delta T.

Passo 2

No diagrama p- V:
A\to B é uma isoterma em \,T_{1}: curva decrescente de pressão ao aumentar o volume de V_{A} para V_{B}.
B\to C é isocórico em V_{B}: linha vertical para baixo, de p_{B} a p_{C} (queda de temperatura T_{1}\to T_{2}).
C\to D é uma isoterma em \,T_{2}: curva crescente de pressão ao reduzir volume de V_{B} a V_{A}.
D\to A é isocórico em V_{A}: linha vertical para cima, de p_{D} a p_{A} (aquecimento T_{2}\to T_{1}).

Passo 3

Trabalho em cada etapa:
– Isotérmica A\to B:
W_{AB} = n\,R\,T_{1}\,\ln\frac{V_{B}}{V_{A}}>0
(o gás empurra o pistão).
– Isocórico B\to C:
W_{BC}=0
– Isotérmica C\to D:
W_{CD} = n\,R\,T_{2}\,\ln\frac{V_{A}}{V_{B}} = -\,n\,R\,T_{2}\,\ln\frac{V_{B}}{V_{A}}
(o trabalho é negativo, pois é compressão).
– Isocórico D\to A:
W_{DA}=0
Trabalho líquido:
W_{\rm liq} = W_{AB}+W_{BC}+W_{CD}+W_{DA} = n\,R\,(T_{1}-T_{2})\,\ln\frac{V_{B}}{V_{A}}.

Passo 4

Calor em cada etapa (1.ª Lei):
A\to B (isotérmica):
Q_{AB}=W_{AB}=n\,R\,T_{1}\,\ln\frac{V_{B}}{V_{A}}>0
B\to C (isocórico, \Delta T=T_{2}-T_{1}<0):
Q_{BC}=n\,C_{V}\,(T_{2}-T_{1})<0
C\to D (isotérmica):
Q_{CD}=W_{CD}=-\,n\,R\,T_{2}\,\ln\frac{V_{B}}{V_{A}}<0
D\to A (isocórico, \Delta T=T_{1}-T_{2}>0):
Q_{DA}=n\,C_{V}\,(T_{1}-T_{2})>0
Como Q_{BC}+Q_{DA}=0, o calor líquido é
Q_{\rm liq}=Q_{AB}+Q_{CD} = n\,R\,(T_{1}-T_{2})\,\ln\frac{V_{B}}{V_{A}}
e nota-se que Q_{\rm liq}=W_{\rm liq}.

Passo 5

Variação de energia interna em cada etapa:
– em ambas isotermas A\to B e C\to D, \Delta U=0;
– em cada isocórico, \Delta U=n\,C_{V}\,\Delta T (negativo em B\to C, positivo em D\to A);
o ciclo retorna ao mesmo estado, logo
\Delta U_{\rm total}=0.

Passo 6

Eficiência térmica do ciclo de Stirling reversível:
\eta = \frac{W_{\rm liq}}{Q_{AB}} =1-\frac{T_{2}}{T_{1}}\,
igual à eficiência de Carnot, portanto respeita a 2.ª Lei da Termodinâmica (não pode ultrapassar Carnot e é totalmente reversível).

Resposta

(a) Diagrama p- V com duas isotermas e duas isochores, conforme descrito no Passo 2.
(b) Trabalho positivo em A\to B, negativo em C\to D, nulo nas isochores.
W_{\rm liq}=n\,R\,(T_{1}-T_{2})\,\ln\frac{V_{B}}{V_{A}}.
(c) Calor absorvido em A\to B e D\to A, rejeitado em B\to C e C\to D.
Q_{\rm liq}=n\,R\,(T_{1}-T_{2})\,\ln\frac{V_{B}}{V_{A}}.
(d) \Delta U\neq0 só nas isochores; no ciclo completo \Delta U=0.
(e) Sim: a eficiência \eta=1-T_{2}/T_{1} é a de Carnot, logo a 2.ª Lei é respeitada.

Exercícios relacionados