Dentro de uma tubulação horizontal com 10 cm de diâmetro a água flui à velocidade de 2,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. A tubulação eleva-se a uma altura de 10 m e volta à horizontal, agora com um tubo de 5 cm de diâmetro. Qual é a diferença de pressão entre os dois ramos horizontais?

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento de água numa tubulação horizontal de diâmetro inicial d_1=10\text{ cm} e velocidade v_1=2,5\text{ m/s}. A tubulação eleva-se verticalmente \Delta z=10\text{ m} e volta a ficar horizontal com diâmetro d_2=5\text{ cm}. Queremos a diferença de pressão entre o ponto inferior (ramo 1) e o ponto superior (ramo 2). Para resolver isso, vamos usar conservação de massa (continuidade) e o teorema de Bernoulli.

Passo 2

Pela continuidade em regime permanente e incompressível, vale
A_1\,v_1 = A_2\,v_2,
onde A_i=\tfrac{\pi d_i^2}{4}. Como \tfrac{A_1}{A_2}=(d_1/d_2)^2=(10/5)^2=4, temos
v_2 = 4\,v_1 = 4\times2,5 = 10\text{ m/s}.

Passo 3

Aplicamos Bernoulli entre os dois trechos horizontais (ponto 1 abaixo e ponto 2 acima):
p_1 + \tfrac12\,\rho\,v_1^2 = p_2 + \tfrac12\,\rho\,v_2^2 + \rho\,g\,\Delta z.
Rearranjando para \Delta p = p_1 - p_2, obtém-se
\Delta p = \tfrac12\,\rho\,(v_2^2 - v_1^2) + \rho\,g\,\Delta z.

Passo 4

Usando \rho=1000\text{ kg/m}^3 e g=9,81\text{ m/s}^2:
\tfrac12\,\rho\,(v_2^2 - v_1^2) = \tfrac12\times1000\times(10^2 - 2{,}5^2) =500\times(100 - 6{,}25) =500\times93{,}75 =46875\text{ Pa},
\rho\,g\,\Delta z =1000\times9{,}81\times10 =98100\text{ Pa}.
Somando,
\Delta p = 46875 + 98100 = 144975\text{ Pa}\approx1,45\times10^5\text{ Pa}.

Resposta

\Delta p = p_1 - p_2 \approx 1,45 \times 10^5\\ \mathrm{Pa}.

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