Um agrônomo afirma que a produtividade média do feijão da safra das lavouras de agricultores familiares de um determinado ano é de 800 \mathrm{Kg} / ha. Para investigar a veracidade dessa afirmação selecionou-se uma amostra de nove lavouras onde obteve-se os seguintes valores de produtividade de feijão, em Kg/ha:
Lavoura 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Produtividade 767,8 764,1 716,8 750,2 756,0 692,5 736,1 746,1 731,4
a) Verifique se a afirmação do agrônomo está correta por meio do teste de hipótese;
b) Caso a afirmação do agrônomo não seja verdadeira, dê uma estimativa da média populacional, com grau de confiançla de 95 \%.

Passo 1

O enunciado afirma que a produtividade média do feijão é \mu_{0}=800 Kg/ha e apresenta uma amostra de n=9 lavouras com produtividades
767{,}8,\;764{,}1,\;716{,}8,\;750{,}2,\;756{,}0,\;692{,}5,\;736{,}1,\;746{,}1,\;731{,}4.
Precisamos:
– aplicar o teste t para verificar
H_{0}\!: \mu = \mu_{0}=800 \quad\text{vs.}\quad H_{1}\!: \mu \neq 800
– se rejeitar H_{0}, construir um intervalo de confiança de 95\% para \mu usando t_{n-1}.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar{x} e o desvio-padrão amostral s.
\bar{x} =\frac{1}{9}\sum_{i=1}^{9}x_i =\frac{6661{,}0}{9} \approx 740{,}11\text{ Kg/ha}.
Em seguida,
s^2 =\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{9}(x_i-\bar{x})^2 \approx \frac{4634{,}09}{8} \approx 579{,}26,
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s\approx\sqrt{579{,}26}\approx 24{,}07\text{ Kg/ha}.

Passo 3

Calcular a estatística de teste
t =\frac{\bar{x}-\mu_{0}}{s/\sqrt{n}} =\frac{740{,}11-800}{24{,}07/\sqrt{9}} =\frac{-59{,}89}{8{,}02} \approx -7{,}47.
Com df=n-1=8 e nível de significância \alpha=0{,}05, o valor crítico bilateral é
t_{0{,}975;8}\approx 2{,}306.
Como \lvert t\rvert=7{,}47>2{,}306, rejeitamos H_{0}. A afirmação de \mu=800 Kg/ha não se sustenta.

Passo 4

Como rejeitamos H_{0}, estimamos \mu por um intervalo de confiança de 95\%:
\bar{x}\pm t_{0{,}975;8}\,\frac{s}{\sqrt{n}} =740{,}11\pm 2{,}306\;\frac{24{,}07}{3} =740{,}11\pm 18{,}50.
Portanto,
\text{IC}_{95\%} = (721{,}61,\;758{,}61)\\ \text{Kg/ha}.

Resposta

a) Rejeita-se H_{0} (valor de t\approx -7{,}47 com df=8), logo a afirmação de média 800 Kg/ha não é correta.
b) Uma estimativa de \mu com 95\% de confiança é
(721{,}61,\;758{,}61)\text{ Kg/ha}.

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