Em uma fábrica, colhida uma amostra de parafusos, obteve-se as seguintes medidas para os diâmetros:
10111111121212121313
13131313131313131313
14141414141515151616
a) Obter a estimativa por ponto da média e da variância
b) Construir um IC para a média \operatorname{com} \alpha=0,05

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra de n diâmetros de parafusos e pede:
– (a) a estimativa por ponto da média \mu e da variância \sigma^2, usando os estimadores amostrais \bar x e s^2;
– (b) um intervalo de confiança (IC) de nível de confiança 1-\alpha=0,95 para a média, assumindo que a distribuição seja aproximadamente normal.

Passo 2

Para calcular a média amostral \bar x, primeiro identificamos os n=30 valores e somamos:
\sum_{i=1}^{30}x_i =396.
Logo,
\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i = \frac{396}{30} = 13{,}2.

Passo 3

Para estimar a variância, usamos
s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)^2.
Calculando \sum_{i=1}^{n}(x_i - 13{,}2)^2 = 66{,}8, obtemos
s^2 = \frac{66{,}8}{30-1} = \frac{66{,}8}{29} \approx 2{,}303.

Passo 4

Para construir o IC de 95\% para \mu, usamos a distribuição t com n-1=29 graus de liberdade. O ponto crítico é
t_{0{,}975,29}\approx 2{,}045.
O desvio padrão amostral é
s = \sqrt{s^2} \approx \sqrt{2{,}303} \approx 1{,}518.
A margem de erro vale
E = t_{0{,}975,29}\,\frac{s}{\sqrt{n}} = 2{,}045\:\frac{1{,}518}{\sqrt{30}} \approx 0{,}566.
Portanto, o IC é
\Bigl[\bar x - E,\;\bar x + E\Bigr] = [\,13{,}2 - 0{,}566,\;13{,}2 + 0{,}566\,] = [\,12{,}634,\;13{,}766\,].

Resposta

(a) \displaystyle \bar x=13{,}2, \displaystyle s^2\approx 2{,}303.
(b) IC de 95\% para \mu:
[\,12{,}634,\;13{,}766\,].

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