Um agrônomo pretende misturar três tipos de adubos ( A, B e C ) de forma que a mistura resulte em 3600 unidades de vitaminas, 2500 unidades de minerais e 2700 unidades de aminoácidos. As unidades por gramas de vitaminas, minerais e aminoácidos dos adubos são apresentados na tabela abaixo:
Vitaminas Minerais Aminoácidos
A 40 100 120
B 80 50 30
C 120 50 60
Quantos gramas dos adubos A, B e C devem compor a mistura?

Passo 1

O enunciado pede para misturar quantidades em gramas dos adubos A, B e C de modo que a mistura forneça exatamente 3600 unidades de vitaminas, 2500 unidades de minerais e 2700 unidades de aminoácidos. Isso gera um sistema linear de três equações com três incógnitas, que resolve usando eliminação de variáveis.

Passo 2

Definimos as variáveis:
\displaystyle x = gramas de A,
\displaystyle y = gramas de B,
\displaystyle z = gramas de C.
As equações de balanço são:
\begin{cases} 40x+80y+120z=3600,\\\\ 100x+50y+50z=2500,\\\\ 120x+30y+60z=2700. \end{cases}

Passo 3

Para simplificar, dividimos cada equação por um fator comum:
\begin{cases} x+2y+3z=90,\\\\ 2x+y+z=50,\\\\ 4x+y+2z=90. \end{cases}

Passo 4

Da segunda equação isole y:
y=50-2x-z.
Substituindo em
\;x+2y+3z=90\; resulta em
x+2(50-2x-z)+3z=90 \;\Longrightarrow\;-3x+z=-10 \;\Longrightarrow\;z=3x-10.
Substituindo também em
\;4x+y+2z=90\;
4x+(50-2x-z)+2z=90 \;\Longrightarrow\;2x+z=40.

Passo 5

Agora, usando z=3x-10 na última relação 2x+z=40, temos
2x+(3x-10)=40 \;\Longrightarrow\;5x=50 \;\Longrightarrow\;x=10.
Logo
z=3\cdot10-10=20, \quad y=50-2\cdot10-20=10.

Resposta

x=10 g de A, y=10 g de B e z=20 g de C.

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