Resolva os sistemas abaixo achando as matrizes ampliadas linha reduzidas à forma escada e dando seus postos, os postos das matrizes dos coeficientes e, se o sistema for possível, o grau de liberdade.
\begin{cases}x-y+z & =2 \\\\ -x+2 y+2 z & =5 \\\\ 5 x-y+5 z & =1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para montar a matriz ampliada do sistema
\begin{cases} x - y + z = 2,\\\\ -\,x + 2y + 2z = 5,\\\\ 5x - y + 5z = 1, \end{cases}
reduzi-la à forma escada, determinar o posto da matriz de coeficientes e da ampliada e, se o sistema for possível, o grau de liberdade. Vamos usar eliminação de Gauss e a definição de posto como número de pivôs não nulos na forma escada.

Passo 2

Montamos a matriz ampliada do sistema:
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 2\\\\ -1 & 2 & 2 & 5\\\\ 5 & -1 & 5 & 1 \end{array}\right)

Passo 3

Eliminamos abaixo do pivô da primeira coluna:
  • R_2 \leftarrow R_2 + R_1
  • R_3 \leftarrow R_3 - 5\,R_1
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 2\\\\ 0 & 1 & 3 & 7\\\\ 0 & 4 & 0 & -9 \end{array}\right)

Passo 4

Eliminamos abaixo do pivô da segunda coluna:
  • R_3 \leftarrow R_3 - 4\,R_2
\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 1 & 2\\\\ 0 & 1 & 3 & 7\\\\ 0 & 0 & -12 & -37 \end{array}\right)
Agora a matriz está em forma escada, com três pivôs não nulos (colunas 1, 2 e 3).

Passo 5

Da forma escada vemos que
  • posto da matriz de coeficientes =3,
  • posto da matriz ampliada =3.
    Como ambos os postos são iguais e valem o número de incógnitas, o sistema é possível e determinado, logo o grau de liberdade é 0.

Resposta

Matriz ampliada em forma escada:
\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 2\\\\ 0 & 1 & 3 & 7\\\\ 0 & 0 & -12 & -37 \end{pmatrix}
posto(coeficientes) =3
posto(ampliada) =3
sistema possível e determinado, grau de liberdade =0.

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