Água a 15^{\circ} \mathrm{C} (densidade =999,1 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e viscosidade dinâmica =1,138 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} /(\mathrm{m} . \mathrm{s}) escoa em regime permanente em um tubo horizontal com 0,20 \mathrm{~cm} de diâmetro e 15 m de comprimento feito de aço inoxidável (rugosidade de 0.002 mm ) a uma velocidade de 1,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Determine:
a. a queda de pressão no tubo (justifique cada equação utilizada);
b. a perda de carga;
c. o requisito de potência de bombeamento para superar essa queda de pressão (potência = vazão volumétrica x \Delta P ).
d. Calcule novamente a potência necessária caso a vazão fosse modificada para 8 \mathrm{~L} / \mathrm{s} e o tubo trocado por um de diâmetro de 4 cm e comprimento de 30 m .

Passo 1

O enunciado trata do escoamento permanente de água em tubos horizontais e pede (a) a queda de pressão, (b) a perda de carga em altura, (c) a potência de bombeamento e (d) recálculo da potência para nova vazão e novo tubo. Vamos usar:
– Número de Reynolds: \mathrm{Re}=\dfrac{\rho v D}{\mu} para caracterizar o regime.
– Equação de Darcy–Weisbach para queda de pressão:
\Delta P \;=\; f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho\,v^2}{2}
– Equação explícita de Swamee–Jain (forma aproximada da equação de Colebrook) para o fator de atrito f:
f = 0{,}25\;\Biggl[\log_{10}\!\Bigl(\frac{\varepsilon}{3{,}7\,D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\Bigr)\Biggr]^{-2}
– Perda de carga em altura: h_f = \frac{\Delta P}{\rho\,g}.
– Vazão volumétrica: \dot V = A\,v, com A=\frac{\pi D^2}{4}.
– Potência do bombeamento: P = \dot V\;\Delta P.

Passo 2

Calcular o número de Reynolds na situação inicial.
Dados: \rho=999{,}1\ kg/ m^{3}, \mu=1{,}138\times10^{-3}\ kg/( m\cdot s), D=0{,}20\ m, v=1{,}2\ m/s.
Aplicando
\mathrm{Re} = \frac{\rho\,v\,D}{\mu} = \frac{999{,}1 \times 1{,}2 \times 0{,}20}{1{,}138\times10^{-3}} \approx 2{,}11\times10^5,
logo o escoamento é turbulento.

Passo 3

Determinar o fator de atrito f pela fórmula de Swamee–Jain, usando rugosidade \varepsilon=0{,}002\ mm =2\times10^{-6}\ m:
f = 0{,}25\;\Bigl[\log_{10}\bigl(\tfrac{\varepsilon}{3{,}7D} + \tfrac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\bigr)\Bigr]^{-2} =0{,}25\;\bigl[\log_{10}(2{,}7\times10^{-6} + 9{,}26\times10^{-5})\bigr]^{-2} \approx0{,}0155.

Passo 4

Calcular a queda de pressão via Darcy–Weisbach:
\Delta P = f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho\,v^2}{2} =0{,}0155\;\frac{15}{0{,}20}\;\frac{999{,}1\,(1{,}2)^2}{2} \approx8{,}36\times10^2\\ \text{Pa}.

Passo 5

Converter para perda de carga em altura:
h_f = \frac{\Delta P}{\rho\,g} = \frac{836{,}3}{999{,}1\;\times9{,}81} \approx0{,}0853\\ \text{m}.

Passo 6

Calcular vazão e potência de bombeamento.
Vazão inicial
\dot V = A\,v = \frac{\pi\,(0{,}20)^2}{4}\times1{,}2 \approx0{,}0377\\ \text{m}^3/\text{s}.
Potência
P = \dot V\;\Delta P =0{,}0377\times836{,}3 \approx31{,}5\\ \text{W}.

Passo 7

Na situação (d), nova vazão \dot V=8\ L/s =0{,}008\ m^{3}/s, novo tubo D=0{,}04\ m, L=30\ m. Calcular \mathrm{Re}_{\text{novo}}:
v_{\text{novo}} = \frac{\dot V}{\pi D^2/4} = \frac{0{,}008}{\pi\,(0{,}04)^2/4} \approx6{,}37\\ \text{m/s},
\mathrm{Re}_{\text{novo}} = \frac{999{,}1 \times 6{,}37 \times 0{,}04}{1{,}138\times10^{-3}} \approx2{,}24\times10^5.

Passo 8

Determinar f_{\text{novo}} pelo mesmo método (rugosidade igual):
f_{\text{novo}} \approx0{,}25\;\Bigl[\log_{10}(1{,}35\times10^{-5} + 8{,}79\times10^{-5})\Bigr]^{-2} \approx0{,}0154.

Passo 9

Calcular \Delta P_{\text{novo}} e h_{f,\text{novo}}:
\Delta P_{\text{novo}} =0{,}0154\,\frac{30}{0{,}04}\,\frac{999{,}1\,(6{,}37)^2}{2} \approx2{,}34\times10^5\\ \text{Pa},
h_{f,\text{novo}} = \frac{2{,}34\times10^5}{999{,}1\times9{,}81} \approx23{,}9\\ \text{m}.

Passo 10

Potência necessária na nova condição:
P_{\text{novo}} = \dot V\;\Delta P_{\text{novo}} =0{,}008\times2{,}336\times10^5 \approx1{,}87\times10^3\\ \text{W}.

Resposta

a. \Delta P \approx8,36\times10^2\\ \text{Pa}.
b. h_f \approx0,0853\\ \text{m}.
c. P \approx31,5\\ \text{W}.
d. P_{\text{novo}}\approx1{,}87\\ \text{kW}.

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