Água a 20^{\circ} \mathrm{C} está escoando em um duto cilíndrico de 20 m de comprimento e raio de 20 cm a uma vazão volumétrica de 2 \mathrm{~L} / \mathrm{s} em regime estácionário e plenamente desenvolvido. O inicio ao final da tubulação há uma queda de pressão de 10,2 \mathrm{~Pa}. Considere que a 20^{\circ} \mathrm{C} a água é um fluido incompressível, de densidade igual a 1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, viscosidade dinâmica igual a 0,01 \mathrm{~kg} /(\mathrm{m} . \mathrm{s}) e regime laminar para \mathrm{Re}<2100 e turbulento para Re>2100.
a. A água está escoando em regime laminiar ou turbulento.
b. Desenhe a tubulação e escolha um elemento de volume adequado para realizar um balando de forças.
c. Equacione o balando de forças para o volume de controle escolhido. Enumere as condições de contorno do problema e encontre a equação do perfil de velocidade em função do raio da tubulação (Dica: com os dados você consegue calcular \mathrm{dP} / \mathrm{dx} ).
d. Qual a velocidade para o raio de 10 cm ?
e. Qual a velocidade máxima?

Passo 1

O enunciado descreve água a 20^\circ\mathrm{C} escoando em regime estacionário e plenamente desenvolvido por um duto cilíndrico de comprimento L=20\,\mathrm m e raio R=0,20\,\mathrm m, com vazão volumétrica Q=2\,\mathrm L/\mathrm s e queda de pressão \Delta P=10,2\,\mathrm Pa. As propriedades são \rho=1000\,\mathrm{kg/m^3} e \mu=0,01\,\mathrm{kg/(m\cdot s)}. O conteúdo envolve escoamento interno laminar (Poiseuille), balanço de forças em volume de controle e perfil de velocidade u(r).

Passo 2

Para saber se o escoamento é laminar ou turbulento, calculamos a velocidade média
V_{\mathrm{m}}=\frac{Q}{\pi R^2} =\frac{2\times10^{-3}}{\pi\,(0,20)^2} \approx0,0159\;\mathrm{m/s}
e o número de Reynolds
\mathrm{Re}=\frac{\rho\,V_{\mathrm{m}}\,(2R)}{\mu} =\frac{1000\cdot0,0159\cdot0,40}{0,01} \approx637.
Como \mathrm{Re}<2100, o escoamento é laminar.

Passo 3

Escolhemos um elemento cilíndrico de controle de raio r variável e comprimento dx, coaxial ao duto. As forças em x são as pressões nas faces transversais e a força de cisalhamento na superfície lateral.
Desenho esquemático (vista lateral simplificada):
– Face em x: área \pi r^2, pressão P(x).
– Face em x+dx: área \pi r^2, pressão P(x+dx).
– Superfície lateral: perímetro 2\pi r, comprimento dx, tensão de cisalhamento \tau_{rx}.

Passo 4

Escrevendo o balanço de forças em x e levando o elemento a regime totalmente desenvolvido, obtemos
-P(x)\,\pi r^2 + P(x+dx)\,\pi r^2 + \tau_{rx}\,(2\pi r\,dx)=0.
Dividindo por \pi r\,dx e passando ao limite dx\to0 surge a relação
\frac{dP}{dx}\,r +2\,\tau_{rx}=0 \quad\Longrightarrow\quad \tau_{rx}=-\frac{r}{2}\,\frac{dP}{dx}.
Pela lei de Newton para fluido newtoniano, \tau_{rx}=\mu\,du/dr. Logo
\mu\frac{du}{dr} =-\frac{r}{2}\frac{dP}{dx} \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{dr} =-\frac{r}{2\mu}\frac{dP}{dx}.
Integrando de r até R e usando u(R)=0 e finitude de u(0), chega-se a
u(r) =-\frac{1}{4\mu}\frac{dP}{dx}\,\bigl(R^2-r^2\bigr).
Como \Delta P=P(0)-P(L)=10,2\,\mathrm{Pa}, tem-se
\frac{dP}{dx}=-\frac{\Delta P}{L}=-\frac{10,2}{20}=-0,51\;\mathrm{Pa/m},
logo
u(r) =\;-\frac{1}{4\cdot0,01}\,(-0,51)\,\bigl(0,20^2-r^2\bigr) =12,75\,(0,04-r^2) \quad[\mathrm{m/s}].

Passo 5

No raio r=0,10\,\mathrm m,
u(0,10) =12,75\bigl(0,04-0,01\bigr) =12,75\times0,03 =0,3825\;\mathrm{m/s}.

Passo 6

A velocidade máxima ocorre no centro r=0,
u_{\max}=u(0) =12,75\,(0,04-0) =0,51\;\mathrm{m/s}.

Resposta

(a) O escoamento é laminar.
(b) Volume de controle: cilindro de raio variável r e comprimento dx, com forças de pressão nas faces transversais e cisalhamento na lateral.
(c) Balanço em x leva a
u(r) =-\frac{1}{4\mu}\frac{dP}{dx}\,(R^2-r^2), \quad \frac{dP}{dx}=-0,51\;\mathrm{Pa/m},
ou seja
u(r)=12,75\,(0,04-r^2)\;\mathrm{m/s}.
(d) u(0{,}10\,\mathrm m)=0,3825\;\mathrm{m/s}.
(e) u_{\max}=u(0)=0,51\;\mathrm{m/s}.

Exercícios relacionados