Água a
está escoando em um duto cilíndrico de 20 m de comprimento e raio de 20 cm a uma vazão volumétrica de
em regime estácionário e plenamente desenvolvido. O inicio ao final da tubulação há uma queda de pressão de
. Considere que a
a água é um fluido incompressível, de densidade igual a
, viscosidade dinâmica igual a
e regime laminar para
e turbulento para Re>2100.
a. A água está escoando em regime laminiar ou turbulento.
b. Desenhe a tubulação e escolha um elemento de volume adequado para realizar um balando de forças.
c. Equacione o balando de forças para o volume de controle escolhido. Enumere as condições de contorno do problema e encontre a equação do perfil de velocidade em função do raio da tubulação (Dica: com os dados você consegue calcular
).
d. Qual a velocidade para o raio de 10 cm ?
e. Qual a velocidade máxima?
a. A água está escoando em regime laminiar ou turbulento.
b. Desenhe a tubulação e escolha um elemento de volume adequado para realizar um balando de forças.
c. Equacione o balando de forças para o volume de controle escolhido. Enumere as condições de contorno do problema e encontre a equação do perfil de velocidade em função do raio da tubulação (Dica: com os dados você consegue calcular
d. Qual a velocidade para o raio de 10 cm ?
e. Qual a velocidade máxima?
Passo 1
O enunciado descreve água a
escoando em regime estacionário e plenamente desenvolvido por um duto cilíndrico de comprimento
e raio
, com vazão volumétrica
e queda de pressão
. As propriedades são
e
. O conteúdo envolve escoamento interno laminar (Poiseuille), balanço de forças em volume de controle e perfil de velocidade
.
Passo 2
Para saber se o escoamento é laminar ou turbulento, calculamos a velocidade média
e o número de Reynolds
Como
, o escoamento é laminar.
Passo 3
Escolhemos um elemento cilíndrico de controle de raio
variável e comprimento
, coaxial ao duto. As forças em
são as pressões nas faces transversais e a força de cisalhamento na superfície lateral.
Desenho esquemático (vista lateral simplificada):
– Face em : área
, pressão
.
– Face em : área
, pressão
.
– Superfície lateral: perímetro , comprimento
, tensão de cisalhamento
.
– Face em
– Face em
– Superfície lateral: perímetro
Passo 4
Escrevendo o balanço de forças em
e levando o elemento a regime totalmente desenvolvido, obtemos
Dividindo por
e passando ao limite
surge a relação
Pela lei de Newton para fluido newtoniano,
. Logo
Integrando de
até
e usando
e finitude de
, chega-se a
Como
, tem-se
logo
Passo 5
No raio
,
Passo 6
A velocidade máxima ocorre no centro
,
Resposta
(a) O escoamento é laminar.
(b) Volume de controle: cilindro de raio variável e comprimento
, com forças de pressão nas faces transversais e cisalhamento na lateral.
(c) Balanço em leva a
(b) Volume de controle: cilindro de raio variável
(c) Balanço em
ou seja
(d)
.
(e) .
(e)