2.27 Um cilindro vertical com 0,085 \mathrm{~m} de diâmetro é montado concentricamente em um tambor com 0,086 \mathrm{~m} de diâmetro interno. Óleo preenche o espaço entre ambos até uma profundidade de 0,4 \mathrm{~m}. O torque requerido para girar o cilindro no tambor é de 6 Nm quando a velocidade de rotação é 8,5 rotações/s. Considerando que os efeitos de bordas são despreziveis, calcule o coeficiente de viscosidade do óleo.

Passo 1

O problema trata de um escoamento viscoso laminar (fluxo de Couette) entre dois cilindros concêntricos, sem levar em conta efeitos de borda. Um cilindro interno de diâmetro 0,085\\ \mathrm{m} gira dentro de um tambor fixo de diâmetro interno 0,086\\ \mathrm{m}, com óleo preenchendo o espaço entre eles até altura L=0,4\\ \mathrm{m}. Ao girar com velocidade de 8{,}5 rotações por segundo, o torque medido no eixo é T=6\\ \mathrm{N\,m}. Precisamos calcular o coeficiente de viscosidade dinâmica \mu do óleo.

Passo 2

Para escoamento de Couette entre cilindros de raios R_1 (interno) e R_2 (externo), desprezando extremidades, o torque necessário para manter velocidade angular \omega é dado por
T \;=\; \frac{4\pi\,\mu\,L\,\omega\,R_1^2\,R_2^2}{R_2^2 - R_1^2}.
Essa fórmula vem de equilibrar o torque aplicado com o torque viscoso resultante da distribuição de tensões tangenciais ao longo da parede do cilindro interno.

Passo 3

Primeiro convertemos os dados em parâmetros usados na fórmula:
R_1 = \frac{0,085}{2} = 0,0425\\ \mathrm{m}, \quad R_2 = \frac{0,086}{2} = 0,0430\\ \mathrm{m}, \quad \omega = 2\pi \times 8{,}5 = 17\pi\\ \mathrm{rad/s}, \quad L = 0,4\\ \mathrm{m}, \quad T = 6\\ \mathrm{N\,m}.

Passo 4

Isolando \mu na expressão do torque, temos
\mu = \frac{T\,(R_2^2 - R_1^2)}{4\pi\,L\,\omega\,R_1^2\,R_2^2}.

Passo 5

Calculando numericamente cada termo:
R_1^2 = (0,0425)^2 = 1{,}80625\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2, \quad R_2^2 = (0,0430)^2 = 1{,}84900\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^2,
R_2^2 - R_1^2 = 4{,}275\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^2, \quad R_1^2\,R_2^2 = 3{,}338\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^4, \quad \omega = 17\pi \approx 53{,}41\\ \mathrm{rad/s}.
Substituindo em \displaystyle \mu = \frac{6 \times 4{,}275\times10^{-5}}{4\pi \times 0,4 \times 53{,}41 \times 3{,}338\times10^{-6}} resulta em
\mu \approx 0{,}29\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Resposta

O coeficiente de viscosidade dinâmica do óleo é aproximadamente
\mu \approx 0{,}29\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

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