Água a 20^{\circ} \mathrm{C} escoa em um tubo de plástico de 8 cm de diâmetro com taxa de escoamento de 20 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. Determine o fator de atrito usando a equação de Colebrook.
\frac{1}{\sqrt{f}}=-2,0 \log \left(\frac{\varepsilon / D}{3,7}+\frac{2,51}{\operatorname{Re} \sqrt{f}}\right)

Passo 1

O enunciado pede: “Determinar o fator de atrito usando a equação de Colebrook” para água a 20^\circ\mathrm{C} escoando em um tubo plástico de diâmetro 8\\ \mathrm{cm} com vazão 20\\ \mathrm{L/s}.
Informações dadas e que vou usar (transformadas para o sistema SI):
  • Diâmetro do tubo: D = 0,08\\ \mathrm{m}.
  • Vazão volumétrica: Q = 20\\ \mathrm{L/s} = 0,02\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Fluido: água a 20^\circ\mathrm{C}. Vou usar propriedades típicas da água a 20^\circ\mathrm{C}:
    • viscosidade cinemática: \nu = 1,004\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s},
    • (a densidade não é necessária diretamente para Reynolds se usarmos \nu).
  • Rugosidade absoluta do tubo: o enunciado só diz “plástico” e não dá \varepsilon. Como não foi dado, vou adotar um valor típico para tubos de PVC/comercial plástico: \varepsilon = 1{,}5\times 10^{-6}\\ \mathrm{m} (ou 0{,}0015\\ \mathrm{mm}). Explico: é comum em exercícios assumir essa rugosidade para tubos de material plástico quando o enunciado não especifica.
O objetivo final é encontrar o fator de atrito f que satisfaz a equação de Colebrook:
\frac{1}{\sqrt{f}}=-2,0\log\!\left(\frac{\varepsilon / D}{3,7}+\frac{2,51}{\operatorname{Re}\sqrt{f}}\right).

Passo 2

Vamos calcular a velocidade média do escoamento v. Primeiro a área da seção transversal do tubo:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo D=0,08\\ \mathrm{m}:
A=\frac{\pi(0,08)^{2}}{4}=\pi\cdot 0,0016=0,0050265\\ \mathrm{m^{2}} \quad(\text{aprox.}).
Agora a velocidade média:
v=\frac{Q}{A}=\frac{0,02}{0,0050265}=3,979\\ \mathrm{m/s}\quad(\text{aprox.}).

Passo 3

Com a velocidade, calculamos o número de Reynolds \operatorname{Re}:
\operatorname{Re}=\frac{vD}{\nu}.
Substituindo v=3,979\\ \mathrm{m/s}, D=0,08\\ \mathrm{m} e \nu=1,004\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}:
\operatorname{Re}=\frac{3,979\cdot 0,08}{1,004\times 10^{-6}}=\frac{0,31832}{1,004\times 10^{-6}}=3,1706\times 10^{5}\quad(\text{aprox.}).
Observação importante: \operatorname{Re}\approx 3{,}17\times 10^{5} é bem maior que 4{,}000, logo o escoamento é turbulento — condição onde a equação de Colebrook é aplicável.

Passo 4

Calcule a razão rugosidade relativa \varepsilon/D com o valor assumido \varepsilon=1{,}5\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}:
\frac{\varepsilon}{D}=\frac{1{,}5\times 10^{-6}}{0,08}=1{,}875\times 10^{-5}.

Passo 5

Vou resolver a equação de Colebrook por iteração (método usual para essa equação implícita). Uma forma prática é escrever a iteração para a variável
x=\frac{1}{\sqrt{f}}.
A equação de Colebrook vira a iteração fixa
x=-2{,}0\log\!\left(\frac{\varepsilon/D}{3,7}+\frac{2{,}51}{\operatorname{Re}\,x}\right).
Para começar a iteração precisamos de um chute inicial. Vou obter um f inicial usando a aproximação explícita de Swamee–Jain (boa para início):
f_{\text{SJ}}=\frac{0{,}25}{\left[\log\!\left(\frac{\varepsilon/(3{,}7D)}{ }+\frac{5{,}74}{\operatorname{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
Calculando passo a passo:
  • \displaystyle\frac{\varepsilon/(3{,}7D)}{ }=\frac{1{,}5\times 10^{-6}}{3{,}7\cdot 0,08}=5{,}0676\times 10^{-6}.
  • \operatorname{Re}^{0{,}9}\approx(3{,}1706\times 10^{5})^{0{,}9}\approx 8{,}92\times 10^{4}.
  • \displaystyle\frac{5{,}74}{\operatorname{Re}^{0{,}9}}\approx\frac{5{,}74}{8{,}92\times 10^{4}}=6{,}43\times 10^{-5}.
    Somando os termos:
\frac{\varepsilon/(3{,}7D)}{ }+\frac{5{,}74}{\operatorname{Re}^{0{,}9}}\approx 5{,}0676\times 10^{-6}+6{,}43\times 10^{-5}=6{,}94\times 10^{-5}.
Então
f_{\text{SJ}}=\frac{0{,}25}{[\log(6{,}94\times 10^{-5})]^2}.
Calculando \log_{10}(6{,}94\times 10^{-5})\approx -4{,}1584, então
f_{\text{SJ}}\approx\frac{0{,}25}{(-4{,}1584)^2}=\frac{0{,}25}{17{,}29}=0{,}01445.
Esse será nosso valor inicial; compute x_{0}=1/\sqrt{f_{\text{SJ}}}:
x_{0}=\frac{1}{\sqrt{0{,}01445}}=8{,}321\quad(\text{aprox.}).

Passo 6

Agora aplicamos a iteração fixa x_{n+1}=-2{,}0\log\!\left(\dfrac{\varepsilon/D}{3,7}+\dfrac{2{,}51}{\operatorname{Re}\,x_{n}}\right). Faço algumas iterações até convergência (mostro os cálculos numéricos):
Iteração 1:
  • \displaystyle\frac{2{,}51}{\operatorname{Re}\,x_{0}}=\frac{2{,}51}{3{,}1706\times 10^{5}\cdot 8{,}321}\approx 9{,}51\times 10^{-7}.
  • soma com \varepsilon/(3{,}7D)=5{,}0676\times 10^{-6} \approx 6{,}0167\times 10^{-6}.
  • \log_{10}(6{,}0167\times 10^{-6})\approx -5{,}2205.
  • x_{1}=-2{,}0(-5{,}2205)=10{,}441.
  • daí f_{1}=1/x_{1}^{2}=1/(10{,}441^{2})\approx 0{,}00917.
Iteração 2:
  • \displaystyle\frac{2{,}51}{\operatorname{Re}\,x_{1}}=\frac{2{,}51}{3{,}1706\times 10^{5}\cdot 10{,}441}\approx 7{,}58\times 10^{-7}.
  • soma com 5{,}0676\times 10^{-6} \approx 5{,}825\times 10^{-6}.
  • \log_{10}(5{,}825\times 10^{-6})\approx -5{,}2342.
  • x_{2}=-2{,}0(-5{,}2342)=10{,}4684.
  • f_{2}=1/x_{2}^{2}\approx 0{,}00913.
Iteração 3:
  • Repetindo com x_{2} \displaystyle\frac{2{,}51}{\operatorname{Re}\,x_{2}}\approx 7{,}56\times 10^{-7}, soma \approx 5{,}824\times 10^{-6}.
  • \log_{10} desse valor dá -5{,}2343 e x_{3}=10{,}4685.
  • f_{3}=1/x_{3}^{2}\approx 0{,}00912.
Observação: de x_{2} para x_{3} a variação é ínfima, sinal de convergência. Podemos parar quando a variação relativa em f for desprezível (aqui já está estável em 4 casas decimais).

Passo 7

Interpretação e resultado final numérico: o fator de atrito convergiu para aproximadamente
f\approx 0{,}00912\\ \text{(adimensional)}.
Comentário prático: esse valor é típico para escoamentos turbulentos em tubos relativamente lisos com razões de rugosidade muito pequenas; se você usasse uma rugosidade maior (tubo mais áspero) o f aumentaria.

Resposta

f\approx 0{,}00912

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