Água a
escoa em um tubo de plástico de 8 cm de diâmetro com taxa de escoamento de
. Determine o fator de atrito usando a equação de Colebrook.
Passo 1
O enunciado pede: “Determinar o fator de atrito usando a equação de Colebrook” para água a
escoando em um tubo plástico de diâmetro
com vazão
.
Informações dadas e que vou usar (transformadas para o sistema SI):
Informações dadas e que vou usar (transformadas para o sistema SI):
- Diâmetro do tubo:
. - Vazão volumétrica:
. - Fluido: água a
. Vou usar propriedades típicas da água a : - viscosidade cinemática:
, - (a densidade não é necessária diretamente para Reynolds se usarmos
).
- viscosidade cinemática:
- Rugosidade absoluta do tubo: o enunciado só diz “plástico” e não dá
. Como não foi dado, vou adotar um valor típico para tubos de PVC/comercial plástico: (ou ). Explico: é comum em exercícios assumir essa rugosidade para tubos de material plástico quando o enunciado não especifica.
O objetivo final é encontrar o fator de atrito
que satisfaz a equação de Colebrook:
Passo 2
Vamos calcular a velocidade média do escoamento
. Primeiro a área da seção transversal do tubo:
Substituindo
:
Agora a velocidade média:
Passo 3
Com a velocidade, calculamos o número de Reynolds
:
Substituindo
,
e
:
Observação importante:
é bem maior que
, logo o escoamento é turbulento — condição onde a equação de Colebrook é aplicável.
Passo 4
Calcule a razão rugosidade relativa
com o valor assumido
:
Passo 5
Vou resolver a equação de Colebrook por iteração (método usual para essa equação implícita). Uma forma prática é escrever a iteração para a variável
A equação de Colebrook vira a iteração fixa
Para começar a iteração precisamos de um chute inicial. Vou obter um
inicial usando a aproximação explícita de Swamee–Jain (boa para início):
Calculando passo a passo:
-
-
-
Somando os termos:
Então
Calculando
, então
Esse será nosso valor inicial; compute
:
Passo 6
Agora aplicamos a iteração fixa
. Faço algumas iterações até convergência (mostro os cálculos numéricos):
Iteração 1:
-
- soma com
dá . -
. -
. - daí
.
Iteração 2:
-
- soma com
dá . -
. -
. -
.
Iteração 3:
- Repetindo com
dá , soma . -
desse valor dá e . -
.
Observação: de
para
a variação é ínfima, sinal de convergência. Podemos parar quando a variação relativa em
for desprezível (aqui já está estável em 4 casas decimais).
Passo 7
Interpretação e resultado final numérico: o fator de atrito convergiu para aproximadamente
Comentário prático: esse valor é típico para escoamentos turbulentos em tubos relativamente lisos com razões de rugosidade muito pequenas; se você usasse uma rugosidade maior (tubo mais áspero) o
aumentaria.