Questão 3 Um orifício circular de parede delgada e pequenas dimensões tem área igual a 1 \mathrm{~cm}^{2}, coeficiente de contração igual a 0,60 e está submetido a uma carga hidráulica de 5 m . Nestas condições de funcionamento sua perda de carga (em mca) é igual a \frac{\mathbb{C}_{A}}{1000} (Dado: 1 \mathrm{~m}^{3}=1000 litros). Calcular:
(a) A velocidade teórica (Torricelli) do jato ( \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s} ) na seção contraída; (b) O coeficiente de velocidade do orifício; (c) A velocidade real do jato ( \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s} ) na seção contraída; (d) A vazão (em litros/s).

Passo 1

O enunciado pede quatro coisas e dá alguns dados. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos.
Perguntas:
  • (a) A velocidade teórica (Torricelli) do jato na seção contraída (em \mathrm{m/s}).
  • (b) O coeficiente de velocidade do orifício.
  • (c) A velocidade real do jato na seção contraída (em \mathrm{m/s}).
  • (d) A vazão (em litros/s).
Dados fornecidos:
  • Área do orifício (abertura) A = 1\\ \mathrm{cm}^2.
  • Coeficiente de contração C_c = 0{,}60.
  • Carga hidráulica (altura) H = 5\\ \mathrm{m}.
  • A perda de carga (em mca) é dada por \dfrac{\mathbb{C}_A}{1000}. Como a única quantidade que faz sentido para \mathbb{C}_A aqui é a área em \mathrm{cm}^2 (pois ela foi dada como 1\\ \mathrm{cm}^2), tomo a perda de carga como
h_L = \frac{1}{1000}\\ \mathrm{m} = 0{,}001\\ \mathrm{m}.
  • Conversão para vazão em litros: 1\\ \mathrm{m}^3 = 1000\\ \mathrm{L}.
  • Aceleração da gravidade: uso g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
Observação: eu usei o fato de que a expressão \dfrac{\mathbb{C}_A}{1000} se refere numericamente à área dada em \mathrm{cm}^2; com A=1\\ \mathrm{cm}^2 obtemos h_L=0{,}001\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Explico a fórmula de Torricelli e calculo a velocidade teórica.
Teoria (aula curta): Torricelli diz que, idealmente (sem perdas), a velocidade de saída de um jato sob uma carga H é dada por
v_t = \sqrt{2gH},
onde:
  • v_t é a velocidade teórica (m/s),
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}),
  • H é a carga disponível (m).
Aplicando ao problema com g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} e H=5\\ \mathrm{m},
v_t = \sqrt{2\cdot 9{,}81 \cdot 5}.
Agora calculamos:
2\cdot 9{,}81 \cdot 5 = 98{,}1,
v_t = \sqrt{98{,}1}\approx 9{,}90499\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Defino e deduzo o coeficiente de velocidade C_v.
Teoria (aula curta): Se houver uma perda de carga h_L entre a superfície do reservatório e a seção considerada (a seção contraída), a energia disponível para velocidade é reduzida para H - h_L. A velocidade real v_r satisfaz
v_r = \sqrt{2g(H - h_L)}.
O coeficiente de velocidade C_v é a razão entre a velocidade real e a teórica:
C_v=\frac{v_r}{v_t}=\frac{\sqrt{2g(H-h_L)}}{\sqrt{2gH}}=\sqrt{1-\frac{h_L}{H}}.
Aqui:
  • h_L é a perda de carga (m),
  • H é a carga total (m).

Passo 4

Calculo numérico de C_v.
Substituo h_L=0{,}001\\ \mathrm{m} e H=5\\ \mathrm{m}:
C_v=\sqrt{1-\frac{0{,}001}{5}}=\sqrt{1-0{,}0002}=\sqrt{0{,}9998}.
Calculando,
C_v\approx 0{,}999899995\approx 0{,}999900.
Comentário prático: este coeficiente está muito próximo de 1 porque a perda de carga é muito pequena comparada à carga total.

Passo 5

Calculo da velocidade real v_r.
Usando v_r = C_v\, v_t,
v_r = 0{,}999900 \times 9{,}90499\\ \mathrm{m/s}\approx 9{,}90399\\ \mathrm{m/s}.
Também podemos obter o mesmo resultado diretamente por
v_r=\sqrt{2g(H-h_L)}=\sqrt{2\cdot 9{,}81 \cdot (5-0{,}001)}=\sqrt{2\cdot 9{,}81 \cdot 4{,}999}\approx 9{,}90399\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calculo da vazão Q (em \mathrm{m^3/s} e em \mathrm{L/s}).
Passo a passo:
  1. Converter a área fornecida para \mathrm{m^2}:
A = 1\\ \mathrm{cm}^2 = 1\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
  1. Área na seção contraída (vena contracta):
A_v = C_c \, A = 0{,}60 \times 1\times 10^{-4} = 6{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.
  1. Vazão como produto da área contraída pela velocidade real:
Q = A_v \, v_r = 6{,}0\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2}\times 9{,}90399\\ \mathrm{m/s}.
Calculando:
Q \approx 5{,}94240\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^3/s}.
  1. Converter para litros por segundo ( 1\\ \mathrm{m^3/s} = 1000\\ \mathrm{L/s}):
Q \approx 0{,}594240\\ \mathrm{L/s}\approx 0{,}5942\\ \mathrm{L/s}.
Observação alternativa (controle): usando coeficiente de descarga C_d=C_c C_v,
C_d=0{,}60\times 0{,}999900\approx 0{,}599940,
e
Q = C_d\, A \sqrt{2gH}=0{,}599940\times 1\times 10^{-4}\times 9{,}90499\approx 5{,}94240\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^3/s},
o mesmo resultado.

Resposta

(a) v_t \approx 9{,}90499\\ \mathrm{m/s}
(b) C_v \approx 0{,}999900
(c) v_r \approx 9{,}90399\\ \mathrm{m/s}
(d) Q \approx 0{,}59424\\ \mathrm{L/s}

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