Água a 20^{\circ} \mathrm{C} flui em um tubo de 1,3 \mathrm{~cm} de diâmetro com 30 m de comprimento e descarrega na atmosfera. A pressão na entrada do tubo é de 0,82 \mathrm{kPa}. Determine a vazão mássica e o número de Reynolds.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações do enunciado:
\text{diâmetro do tubo: } D = 1{,}3\\ \mathrm{cm} = 0{,}013\\ \mathrm{m}â
\text{comprimento do tubo: } L = 30\\ \mathrm{m}
\text{pressão na entrada (dada): } p_{\text{in}} = 0{,}82\\ \mathrm{kPa}ã
\text{o tubo descarrega na atmosfera, logo a pressão de saída é } p_{\text{out}} = p_{\text{atm}}ãíé
Perguntas que o enunciado faz:
  1. Determinar a vazão mássica \dot{m}.
  2. Determinar o número de Reynolds \mathrm{Re}.
Observação importante (decisão que vou usar sem perguntar): é natural interpretar que o valor 0{,}82\\ \mathrm{kPa} é uma pressão manométrica (ou seja, excesso em relação à atmosfera), porque se fosse absoluta seria menor que a atmosfera e isso seria estranho para um escoamento aberto. Assim a diferença de pressão disponível para vencer as perdas por atrito é \Delta p = 0{,}82\\ \mathrm{kPa}.

Passo 2

Vamos pegar as propriedades da água a 20^\circ\mathrm{C}. Valores típicos de tabela:
\rho = 998\\ \mathrm{kg/m^3}
\mu = 1{,}002\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}
Expliquei: \rho é a massa por volume e \mu é a viscosidade dinâmica (medida de “resistência” ao escoamento). A partir desses temos a viscosidade cinemática \nu=\mu/\rho se precisar.

Passo 3

A diferença de pressão disponível para vencer o atrito no tubo é
\Delta p = p_{\text{in (gauge)}} = 0{,}82\\ \mathrm{kPa} = 820\\ \mathrm{Pa},
pois a saída está à pressão atmosférica e a entrada tem 0{,}82\\ \mathrm{kPa} acima da atmosfera.

Passo 4

Relação fundamental (equação de Darcy–Weisbach) que liga queda de pressão ao escoamento em tubulação:
\Delta p = f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho v^{2}}{2},
onde:
  • f é o fator de atrito de Darcy (adimensional),
  • L é o comprimento do tubo,
  • D é o diâmetro,
  • \rho é a densidade do fluido,
  • v é a velocidade média do fluido na seção.
Vou precisar de f. Existem dois regimes principais:
  • escoamento laminar: f = \dfrac{64}{\mathrm{Re}},
  • escoamento turbulento: f depende de \mathrm{Re} e rugosidade (equação de Colebrook).
Não sabemos à priori se é laminar ou turbulento, mas posso supor laminar e verificar consistência. Para escoamento laminar substituímos f=64/\mathrm{Re} e lembramos que
\mathrm{Re} = \frac{\rho v D}{\mu}.

Passo 5

Derivação prática para o caso laminar (mostro passo a passo para você poder aplicar em prova):
Substituindo f=64/\mathrm{Re} em Darcy–Weisbach:
\Delta p = \frac{64}{\mathrm{Re}}\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho v^{2}}{2}.
Agora substituímos \mathrm{Re}=\dfrac{\rho v D}{\mu}:
\Delta p = 64\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho v^{2}}{2}\cdot\frac{\mu}{\rho v D}.
Simplificando termo a termo (cuidado com cancelamentos):
  • \rho cancela,
  • v^{2}/v = v.
Fica:
\Delta p = 64\,\frac{L}{D}\,\frac{\mu v}{2 D} = \frac{32\,\mu\,L\,v}{D^{2}}.
Isolando v:
v = \frac{\Delta p\,D^{2}}{32\,\mu\,L}.
Isso é ótimo porque dá v diretamente (para regime laminar) sem necessidade de iteração.

Passo 6

Agora aplico numericamente a fórmula encontrada. Primeiro calcule D^{2} e o denominador:
D^{2} = (0{,}013)^{2} = 0{,}000169\\ \mathrm{m^{2}}.
32\,\mu\,L = 32 \cdot (1{,}002\times10^{-3}) \cdot 30 = 0{,}96192\\ \mathrm{(SI)}.
Numerador:
\Delta p\,D^{2} = 820 \cdot 0{,}000169 = 0{,}13858.
Logo a velocidade média é
v = \frac{0{,}13858}{0{,}96192} \approx 0{,}1441\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Com a velocidade média v calculada obtenho a vazão volumétrica Q e, em seguida, a vazão mássica \dot{m}.
Área da seção transversal:
A = \frac{\pi D^{2}}{4} = \frac{\pi \cdot 0{,}000169}{4} = 1{,}326\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}.
Vazão volumétrica:
Q = A v = 1{,}326\times10^{-4}\cdot 0{,}1441 \approx 1{,}909\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Vazão mássica:
\dot{m} = \rho Q = 998 \cdot 1{,}909\times10^{-5} \approx 0{,}01907\\ \mathrm{kg/s}.
Interpretação prática: cerca de 0{,}019\\ \mathrm{kg/s}, ou seja, um fluxo muito pequeno (tubo fino e baixa diferença de pressão).

Passo 8

Agora calculo o número de Reynolds e verifico se a suposição laminar foi válida.
Definição:
\mathrm{Re} = \frac{\rho v D}{\mu}.
Substituindo:
\mathrm{Re} = \frac{998 \cdot 0{,}1441 \cdot 0{,}013}{1{,}002\times10^{-3}}.
Calcule passo a passo:
998\cdot 0{,}1441 = 143{,}812\quad\Rightarrow\quad 143{,}812\cdot 0{,}013 = 1{,}8696.
\mathrm{Re} = \frac{1{,}8696}{1{,}002\times10^{-3}} \approx 1866.
Comparação com o critério: o escoamento laminar normalmente tem \mathrm{Re} < 2300. Aqui \mathrm{Re}\approx 1866<2300, logo a suposição laminar foi consistente.

Passo 9

Resumo e interpretação final (rápida aula prática do que fizemos, para você lembrar na prova):
  • Usei Darcy–Weisbach para relacionar queda de pressão com velocidade média.
  • Para regime laminar usamos f=64/\mathrm{Re}; isso permitiu eliminar f e \mathrm{Re} e obter uma expressão linear para v em função de \Delta p.
  • Calculei v, depois Q e \dot{m}=\rho Q.
  • Depois calculei \mathrm{Re} e confirmei que o fluxo é laminar, então tudo está coerente.

Resposta

\dot{m} = 0,01907\\ \mathrm{kg/s}\n
\mathrm{Re} = 1{,}87\times10^{3}

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