Água a
flui em um tubo de
de diâmetro com 30 m de comprimento e descarrega na atmosfera. A pressão na entrada do tubo é de
. Determine a vazão mássica e o número de Reynolds.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
Informações do enunciado:
Perguntas que o enunciado faz:
- Determinar a vazão mássica
. - Determinar o número de Reynolds
.
Observação importante (decisão que vou usar sem perguntar): é natural interpretar que o valor
é uma pressão manométrica (ou seja, excesso em relação à atmosfera), porque se fosse absoluta seria menor que a atmosfera e isso seria estranho para um escoamento aberto. Assim a diferença de pressão disponível para vencer as perdas por atrito é
.
Passo 2
Vamos pegar as propriedades da água a
. Valores típicos de tabela:
Expliquei:
é a massa por volume e
é a viscosidade dinâmica (medida de “resistência” ao escoamento). A partir desses temos a viscosidade cinemática
se precisar.
Passo 3
A diferença de pressão disponível para vencer o atrito no tubo é
pois a saída está à pressão atmosférica e a entrada tem
acima da atmosfera.
Passo 4
Relação fundamental (equação de Darcy–Weisbach) que liga queda de pressão ao escoamento em tubulação:
onde:
-
é o fator de atrito de Darcy (adimensional), -
é o comprimento do tubo, -
é o diâmetro, -
é a densidade do fluido, -
é a velocidade média do fluido na seção.
Vou precisar de
. Existem dois regimes principais:
- escoamento laminar:
, - escoamento turbulento:
depende de e rugosidade (equação de Colebrook).
Não sabemos à priori se é laminar ou turbulento, mas posso supor laminar e verificar consistência. Para escoamento laminar substituímos
e lembramos que
Passo 5
Derivação prática para o caso laminar (mostro passo a passo para você poder aplicar em prova):
Substituindo
em Darcy–Weisbach:
Agora substituímos
:
Simplificando termo a termo (cuidado com cancelamentos):
-
cancela, -
.
Fica:
Isolando
:
Isso é ótimo porque dá
diretamente (para regime laminar) sem necessidade de iteração.
Passo 6
Agora aplico numericamente a fórmula encontrada. Primeiro calcule
e o denominador:
Numerador:
Logo a velocidade média é
Passo 7
Com a velocidade média
calculada obtenho a vazão volumétrica
e, em seguida, a vazão mássica
.
Área da seção transversal:
Vazão volumétrica:
Vazão mássica:
Interpretação prática: cerca de
, ou seja, um fluxo muito pequeno (tubo fino e baixa diferença de pressão).
Passo 8
Agora calculo o número de Reynolds e verifico se a suposição laminar foi válida.
Definição:
Substituindo:
Calcule passo a passo:
Comparação com o critério: o escoamento laminar normalmente tem
. Aqui
, logo a suposição laminar foi consistente.
Passo 9
Resumo e interpretação final (rápida aula prática do que fizemos, para você lembrar na prova):
- Usei Darcy–Weisbach para relacionar queda de pressão com velocidade média.
- Para regime laminar usamos
; isso permitiu eliminar e e obter uma expressão linear para em função de . - Calculei
, depois e . - Depois calculei
e confirmei que o fluxo é laminar, então tudo está coerente.