Para um escoamento turbulento em um tubo de 0,6 \mathrm{~m} de diâmetro, a velocidade de 0,15 \mathrm{~m} da parede é de 2,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Estime a tensão de cisalhamento da parede usando a expressão de 1 / 7 para o perfil de velocidade.

Passo 1

O enunciado dá um escoamento turbulento em um tubo com diâmetro D=0,6\\ \mathrm{m}. A informação disponível é que a velocidade a 0,15\\ \mathrm{m} da parede é 2,7\\ \mathrm{m/s}. Pede-se estimar a tensão de cisalhamento na parede \tau_w usando a lei de velocidade do tipo 1/7.\n
Informações dadas:
D=0,6\\ \mathrm{m},\qquad \text{distância da parede } y=0,15\\ \mathrm{m},\qquad u(y)=2,7\\ \mathrm{m/s}.â
O que é pedido: estimar \tau_w (tensão de cisalhamento na parede).

Passo 2

Definindo coordenadas e a lei 1/7. Seja R o raio do tubo e r a coordenada radial medida desde o centro; a distância da parede é y=R-r. A lei de potência 1/7 (forma usual usada em escoamento turbulento em tubos) é escrita como
u(r)=U_{\max}\left(1-\frac{r}{R}\right)^{1/7},
onde U_{\max} é a velocidade no centro do tubo (velocidade máxima). Aqui R=\tfrac{D}{2}=0,3\\ \mathrm{m}. Como o ponto dado está a y=0,15\\ \mathrm{m} da parede, o raio nesse ponto é
r=R-y=0,3-0,15=0,15\\ \mathrm{m},
logo \dfrac{r}{R}=\dfrac{0,15}{0,3}=0,5. Substituindo na lei:
u(r)=2,7\\ \mathrm{m/s}=U_{\max}\left(1-0,5\right)^{1/7}=U_{\max}\left(0,5\right)^{1/7}.
Assim obtemos U_{\max} isolando:
U_{\max}=\frac{2,7}{(0,5)^{1/7}}.
Calculemos (0,5)^{1/7}. Usando exponenciação:
(0,5)^{1/7}\approx 0,9057,
portanto
U_{\max}\approx \frac{2,7}{0,9057}\approx 2,98\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Precisamos da velocidade média \overline{U} (média sobre a seção) para relacioná-la à tensão de parede. A velocidade média em um tubo é
\overline{U}=\frac{2}{R^{2}}\int_{0}^{R} u(r)\,r\,dr.
Substituindo a lei de potência com a variável adimensional \eta=\dfrac{r}{R} obtemos (para uma lei geral com expoente 1/n):
\overline{U}=2U_{\max}\int_{0}^{1}\eta(1-\eta)^{1/n}d\eta.
Esse integral pode ser avaliado algebraicamente: escrevendo t=1-\eta chega-se à identidade
\int_{0}^{1}\eta(1-\eta)^{1/n}d\eta=\frac{n^{2}}{(n+1)(2n+1)}.
No caso 1/7 temos n=7. Então
\overline{U}=2U_{\max}\frac{7^{2}}{(7+1)(2\cdot7+1)}=2U_{\max}\frac{49}{8\cdot15}=U_{\max}\cdot\frac{2\cdot49}{120}=U_{\max}\cdot\frac{98}{120}.
Simplificando,
\frac{U_{\max}}{\overline{U}}=\frac{(n+1)(2n+1)}{2n^{2}}=\frac{8\cdot15}{2\cdot49}=\frac{120}{98}\approx 1,2245.
Portanto
\overline{U}=\frac{U_{\max}}{1,2245}\approx\frac{2,98}{1,2245}\approx 2,43\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Para obter \tau_{w} usamos a relação com o fator de atrito de Darcy-Weisbach f:
\tau_{w}=\frac{f}{8}\,\rho\,\overline{U}^{2},
onde \rho é a densidade do fluido. Precisamos estimar f. Uma correlação empírica simples e muito usada para escoamentos turbulentos em tubos lisos é a fórmula de Blasius
f=0,3164\,\mathrm{Re}^{-0,25},
válida em primeira aproximação para 4\cdot10^{3}\lesssim\mathrm{Re}\lesssim 10^{5} (e frequentemente usada como estimativa além dessa faixa). O número de Reynolds é
\mathrm{Re}=\frac{\overline{U}D}{\nu},
onde \nu é a viscosidade cinemática. O enunciado não diz qual fluido; vou assumir, como prática comum, água à temperatura próxima de 20^\circ\mathrm{C} com
\rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}},\qquad \nu=1{,}0\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
Então
\mathrm{Re}=\frac{2{,}43\cdot 0{,}6}{1{,}0\times10^{-6}}\approx 1{,}459\times10^{6}.
Aplicando Blasius:
f=0{,}3164\,(1{,}459\times10^{6})^{-0{,}25}\approx 0{,}00910.

Passo 5

Agora calculamos \tau_{w} com os valores obtidos:
\tau_{w}=\frac{f}{8}\,\rho\,\overline{U}^{2}=\frac{0{,}00910}{8}\cdot 1000\cdot (2{,}43)^{2}.
Calcule passo a passo:
\frac{f}{8}=0{,}00910/8\approx 0{,}0011375,
\overline{U}^{2}=(2{,}43)^{2}\approx 5{,}915,
\rho\,\overline{U}^{2}=1000\cdot 5{,}915=5915,
\tau_{w}=0{,}0011375\cdot 5915\approx 6{,}73\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Observações e fontes de erro: usamos a lei 1/7 para estimar U_{\max} e \overline{U}, e a correlação de Blasius para o fator de atrito; além disso assumimos que o fluido é água a 20^\circ\mathrm{C}. A lei 1/7 não é válida muito próximo à parede (subcamada viscosa) e a correlação de Blasius é empírica, então o valor obtido é uma estimativa razoável, não uma medida exata. Mesmo assim, para muitas aplicações de engenharia essa aproximação é aceitável. Força nos estudos — você já tem a ideia e o passo a passo para a prova!

Resposta

\tau_{w}\approx 6{,}73\\ \mathrm{Pa}

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