Para um escoamento turbulento em um tubo de 0,6 \mathrm{~m} de diâmetro, a velocidade de 0,15 \mathrm{~m} da parede é de 2,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Estime a tensão de cisalhamento da parede usando a expressão de 1 / 7 para o perfil de velocidade.
Passo 1
O enunciado dá um escoamento turbulento em um tubo com diâmetro D=0,6\\ \mathrm{m}. A informação disponível é que a velocidade a 0,15\\ \mathrm{m} da parede é 2,7\\ \mathrm{m/s}. Pede-se estimar a tensão de cisalhamento na parede \tau_w usando a lei de velocidade do tipo 1/7.\n
Informações dadas:
D=0,6\\ \mathrm{m},\qquad \text{distância da parede } y=0,15\\ \mathrm{m},\qquad u(y)=2,7\\ \mathrm{m/s}.
O que é pedido: estimar \tau_w (tensão de cisalhamento na parede).
Passo 2
Definindo coordenadas e a lei 1/7. Seja R o raio do tubo e r a coordenada radial medida desde o centro; a distância da parede é y=R-r. A lei de potência 1/7 (forma usual usada em escoamento turbulento em tubos) é escrita como
u(r)=U_{\max}\left(1-\frac{r}{R}\right)^{1/7},
onde U_{\max} é a velocidade no centro do tubo (velocidade máxima). Aqui R=\tfrac{D}{2}=0,3\\ \mathrm{m}. Como o ponto dado está a y=0,15\\ \mathrm{m} da parede, o raio nesse ponto é
r=R-y=0,3-0,15=0,15\\ \mathrm{m},
logo \dfrac{r}{R}=\dfrac{0,15}{0,3}=0,5. Substituindo na lei:
Para obter \tau_{w} usamos a relação com o fator de atrito de Darcy-Weisbach f:
\tau_{w}=\frac{f}{8}\,\rho\,\overline{U}^{2},
onde \rho é a densidade do fluido. Precisamos estimar f. Uma correlação empírica simples e muito usada para escoamentos turbulentos em tubos lisos é a fórmula de Blasius
f=0,3164\,\mathrm{Re}^{-0,25},
válida em primeira aproximação para 4\cdot10^{3}\lesssim\mathrm{Re}\lesssim 10^{5} (e frequentemente usada como estimativa além dessa faixa). O número de Reynolds é
\mathrm{Re}=\frac{\overline{U}D}{\nu},
onde \nu é a viscosidade cinemática. O enunciado não diz qual fluido; vou assumir, como prática comum, água à temperatura próxima de 20^\circ\mathrm{C} com
Observações e fontes de erro: usamos a lei 1/7 para estimar U_{\max} e \overline{U}, e a correlação de Blasius para o fator de atrito; além disso assumimos que o fluido é água a 20^\circ\mathrm{C}. A lei 1/7 não é válida muito próximo à parede (subcamada viscosa) e a correlação de Blasius é empírica, então o valor obtido é uma estimativa razoável, não uma medida exata. Mesmo assim, para muitas aplicações de engenharia essa aproximação é aceitável. Força nos estudos — você já tem a ideia e o passo a passo para a prova!