Água a a 20^{\circ} \mathrm{C}\left(\mu=10^{-3} \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2}\right) escoa em um cana retangular de tijolos de 2 m de largura a uma profundidade de 120 cm . A inclinação é de 0,0012 . Determine a vazão pela equação do canal aberto (Chezy -Manning) .

Passo 1

O enunciado pede a vazão do escoamento em um canal retangular usando a equação de canal aberto (Chezy–Manning). Dados fornecidos (vou escrevê‑los em forma numérica para a gente trabalhar):
  • Largura do canal: \;b=2\\ \mathrm{m}.
  • Profundidade (calado): \;d=1{,}20\\ \mathrm{m}.
  • Inclinação (declividade): \;S=0{,}0012.
  • Viscosidade dinâmica da água a 20^\circ\mathrm{C}: \;\mu=10^{-3}\\ \mathrm{N\cdot s/m^2}.
O que se pede: determinar a vazão Q usando a fórmula de Chezy–Manning.
Observação: para trabalhar com números adiante vou aproximar a densidade da água por \rho\approx 1000\\ \mathrm{kg/m^3} (valor padrão próximo de 20^\circ\mathrm{C}), o que nos dá a viscosidade cinemática \nu=\mu/\rho quando necessário.

Passo 2

Apresentando as fórmulas e explicando o que cada símbolo significa (aula rápida):
A fórmula de Manning para a vazão é
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2},
onde:
  • \;Q é a vazão volumétrica (m³/s);
  • \;n é o coeficiente de rugosidade de Manning (adimensional), valor empírico que representa quanto o leito/operação atrita o escoamento;
  • \;A é a área da seção molhada (m²);
  • \;R é o raio hidráulico (m), definido como R=A/P, com P perímetro molhado (m);
  • \;S é a declividade da linha de energia, que aqui coincide com a inclinação do fundo do canal (adimensional);
  • S^{1/2} é a raiz quadrada de S.
Relação com Chezy: a velocidade média pode ser escrita como V=C\sqrt{R S}, com C coeficiente de Chezy. Há relação entre C e n:
C=\frac{R^{1/6}}{n}.
Eu usei a forma de Manning por ser a pedida; a explicação acima mostra que Chezy e Manning são compatíveis.
Sobre o valor de n: é empírico e depende do material do canal. Para canal de tijolos/masonry, tabelas técnicas costumam apresentar valores na faixa \;n\approx 0{,}012 a 0{,}015. Vou adotar um valor típico intermediário e usual para tijolo/ alvenaria lisa:
n=0{,}013.
(Se você tiver uma tabela do seu curso com outro valor, substitui‑se n e refazem‑se os cálculos; o procedimento é o mesmo.)

Passo 3

Calcular a geometria da seção (passo a passo, sem pular etapas):
Área da seção molhada:
A=b\cdot d=2\cdot 1{,}20=2{,}40\\ \mathrm{m^2}.
Perímetro molhado (retângulo aberto):
P=b+2d=2+2\cdot 1{,}20=4{,}40\\ \mathrm{m}.
Raio hidráulico:
R=\frac{A}{P}=\frac{2{,}40}{4{,}40}=0{,}545454\ldots\\ \mathrm{m}\approx 0{,}54545\\ \mathrm{m}.
Vou manter algumas casas decimais nos cálculos intermediários para não acumular erro.

Passo 4

Calcular os termos necessários para a fórmula de Manning:
Primeiro R^{2/3}. Usamos a potência de R:
R^{2/3}\approx (0{,}545454)^{2/3}\approx 0{,}66760.
Raiz quadrada da declividade:
S^{1/2}=\sqrt{0{,}0012}\approx 0{,}0346410.
Agora multiplicamos A, R^{2/3} e S^{1/2}:
A\,R^{2/3}\,S^{1/2}=2{,}40\times 0{,}66760\times 0{,}0346410\approx 0{,}0555209.
O inverso de n é
\frac{1}{n}=\frac{1}{0{,}013}\approx 76{,}9230769.
Finalmente a vazão Q:
Q=\frac{1}{n}\,A\,R^{2/3}\,S^{1/2}\approx 76{,}9230769\times 0{,}0555209\approx 4{,}2693\\ \mathrm{m^3/s}.
Arredondando de forma prática (duas casas decimais) obtemos Q\approx 4{,}27\\ \mathrm{m^3/s}.

Passo 5

Verificação útil — velocidade média e número de Reynolds (pra ver se o regime justifica uso de fórmulas empíricas):
Velocidade média:
V=\frac{Q}{A}\approx\frac{4{,}2693}{2{,}40}\approx 1{,}7789\\ \mathrm{m/s}.
Diâmetro hidráulico (usado no Reynolds para seção aberta):
D_h=4R\approx 4\times 0{,}54545=2{,}1818\\ \mathrm{m}.
Viscosidade cinemática (aproximação):
\nu=\frac{\mu}{\rho}\approx\frac{10^{-3}}{1000}=10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
Número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{V D_h}{\nu}\approx\frac{1{,}7789\times 2{,}1818}{10^{-6}}\approx 3{,}88\times 10^{6},
ou seja, totalmente turbulento (muito acima de 4000). Portanto o uso das fórmulas empíricas tipo Manning/Chezy é apropriado.

Passo 6

(Bônus didático) cálculo do coeficiente de Chezy para conferir consistência:
R^{1/6}\approx (0{,}54545)^{1/6}\approx 0{,}90399,
C=\frac{R^{1/6}}{n}\approx\frac{0{,}90399}{0{,}013}\approx 69{,}537.
Com V=C\sqrt{R S} obtemos a mesma velocidade média V\approx 1{,}779\\ \mathrm{m/s}, checando consistência entre Chezy e Manning.

Resposta

Q\approx 4{,}27\\ \mathrm{m^3/s}

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