Um duto retangular liso mede 10 \times 20 \mathrm{~cm} transporta 0,4 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de ar a condições padrão por uma distância horizontal de 200 m . Determine a queda de pressão no duto

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a queda de pressão no duto:
  • Seção retangular do duto: 10\times 20\\ \mathrm{cm}.
  • Vazão volumétrica: Q=0,4\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Comprimento do duto: L=200\\ \mathrm{m}.
  • Ar em condições padrão (vou assumir ar à temperatura ambiente padrão: densidade \rho e viscosidade dinâmica \mu típicas; vou explicitar os valores que uso e por que).
    O objetivo é calcular a queda de pressão ao longo dos 200\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Converter e organizar os dados geométricos e físicos:
  • Lados do retângulo: a=0,10\\ \mathrm{m} e b=0,20\\ \mathrm{m}.
  • Área da seção transversal: A = a\cdot b = 0,10\cdot 0,20 = 0,020\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Vazão dada: Q=0,4\\ \mathrm{m^{3}/s}.
    Agora calculamos a velocidade média do ar no duto usando a relação V = Q/A.

Passo 3

Cálculo da velocidade média:
V = \frac{Q}{A} = \frac{0,4}{0,020} = 20\\ \mathrm{m/s}.
Comentário didático: a velocidade média é simplesmente o volume de ar por unidade de tempo dividido pela área da seção; esse V é o que usamos nas fórmulas de perda por atrito.

Passo 4

Definir propriedades do ar em “condições padrão” (assunção comum para problemas de prova):
  • Densidade: \rho = 1,204\\ \mathrm{kg/m^{3}} (ar a \approx 20^\circ\mathrm{C}).
  • Viscosidade dinâmica: \mu = 1,81\times 10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    Daí a viscosidade cinemática é \nu=\mu/\rho:
\nu = \frac{1,81\times 10^{-5}}{1,204} \approx 1,503\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
Comentário didático: \nu é a propriedade que aparece quando calculamos o número de Reynolds; indica a “viscosidade efetiva” por unidade de densidade.

Passo 5

Calcular o diâmetro hidráulico do duto retangular (conceito importante): para uma seção retangular de lados a e b,
D_{h} = \frac{4\cdot \text{área}}{\text{perímetro molhado}} = \frac{2ab}{a+b}.áí
Aplicando:
D_{h} = \frac{2\cdot 0,10\cdot 0,20}{0,10+0,20} = \frac{0,040}{0,30} = 0,133\overline{3}\\ \mathrm{m}.
Comentário didático: o diâmetro hidráulico é a “equivalente circular” que usamos nas fórmulas para perda por atrito (Darcy–Weisbach) quando a seção não é circular.

Passo 6

Calcular o número de Reynolds para decidir o regime de escoamento:
\mathrm{Re} = \frac{V D_{h}}{\nu} = \frac{20\cdot 0,133\overline{3}}{1,503\times 10^{-5}}.
Primeiro V D_{h} = 20\cdot 0,133\overline{3}=2,666\overline{6}. Logo
\mathrm{Re} \approx \frac{2,666\overline{6}}{1,503\times 10^{-5}} \approx 1,77\times 10^{5}.
Comentário didático: \mathrm{Re} compara efeitos inerciais com viscosos; aqui \mathrm{Re}\gg 4000, portanto o escoamento é turbulento.

Passo 7

Escolha da fórmula para o fator de atrito f:
  • Em escoamento turbulento usamos a fórmula de Darcy–Weisbach com um fator de atrito f.
  • Para paredes lisas (enunciado diz “duto retangular liso”), podemos usar uma fórmula explícita aproximada para f que evita iteração. Uma escolha prática e bem aceita é a fórmula de Swamee–Jain (forma explícita da equação de Colebrook), que para rugosidade muito pequena (caso liso) se reduz a:
f = \frac{0,25}{\left[\log_{10}\!\left(\dfrac{5,74}{\mathrm{Re}^{0,9}}\right)\right]^{2}}.
Comentário didático: essa expressão dá um valor de f compatível com a equação implícita de Colebrook para tubos lisos e é adequada para provas, pois não exige iteração.

Passo 8

Calcular f usando a expressão escolhida. Primeiro calculamos \mathrm{Re}^{0,9}:
\mathrm{Re}^{0,9} \approx (1,77\times 10^{5})^{0,9} \approx 5,31\times 10^{4}.
Então
\frac{5,74}{\mathrm{Re}^{0,9}} \approx \frac{5,74}{5,31\times 10^{4}} \approx 1,08\times 10^{-4}.
Tomando o logaritmo e aplicando a fórmula:
\log_{10}\!\left(1,08\times 10^{-4}\right) \approx -3,967,
f \approx \frac{0,25}{(-3,967)^{2}} \approx \frac{0,25}{15,74} \approx 0,0159.
Observação: se usássemos a fórmula de Blasius f=0,3164\,\mathrm{Re}^{-0,25} obteríamos f\approx 0,0154, valor próximo; isso confirma consistência.

Passo 9

Aplicar a equação de Darcy–Weisbach para a queda de pressão ao longo do comprimento L:
\Delta p = f\,\frac{L}{D_{h}}\,\frac{\rho V^{2}}{2}.
Já temos f, L, D_{h}, \rho e V. Calculemos cada peça:
\frac{L}{D_{h}} = \frac{200}{0,133\overline{3}} = 1500.
A pressão dinâmica:
\frac{\rho V^{2}}{2} = \frac{1,204\cdot 20^{2}}{2} = 240,8\\ \mathrm{Pa}.
Agora a perda:
\Delta p = 0,0159\cdot 1500\cdot 240,8 \approx 5{,}74\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 10

Interpretação e verificação rápida:
  • Resultado numérico: \Delta p \approx 5{,}74\\ \mathrm{kPa}.
  • Ordem de grandeza consistente: velocidade 20\\ \mathrm{m/s} e comprimento grande dão perda na casa dos kPa.
  • Fontes de aproximação: assumi ar “padrão” com \rho e \mu típicos e duto “liso” (rugosidade desprezível). Se a rugosidade real for maior, f e \Delta p aumentariam um pouco.

Resposta

\Delta p \approx 5{,}74\times 10^{3}\\ \mathrm{Pa} (aproximadamente 5{,}74\\ \mathrm{kPa}).

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