Considere um tubo de aço comercial com 1 m de comprimento e 5 cm de diâmetro conduzindo água na direção horizontal a uma velocidade média de 9 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule o fator de atrito e a perda de carga, em m.
Considere:
\rho\left(\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right)=1.000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}
v( viscosidade cinemática )=1,01 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}
\mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que se pede):
  • O enunciado pede que calculemos o fator de atrito e a perda de carga (em metros) para um trecho de tubo.
  • Dados fornecidos: \begin{aligned} &\text{Comprimento: } L=1\\ \mathrm{m} \\\ &\text{Diâmetro: } D=5\\ \mathrm{cm}=0,05\\ \mathrm{m} \\\ &\text{Velocidade média: } V=9\\ \mathrm{m/s} \\\ &\rho(\mathrm{H_2O})=1{,}000\\ \mathrm{kg/m^3} \\\ &\nu\\ (\text{viscosidade cinemática})=1{,}01\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s} \\\ &g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} \end{aligned}âéá
  • O que pedir: calcular
    1. o fator de atrito (adimensional), e
    2. a perda de carga (em metros) ao longo do comprimento L.

Passo 2

Determinar o regime de escoamento pelo número de Reynolds (motivo: o tipo de fórmula para o fator de atrito depende se o escoamento é laminar ou turbulento).
  • Fórmula do número de Reynolds: Re=\frac{V\,D}{\nu},
onde V é a velocidade média (m/s), D é o diâmetro (m) e \nu é a viscosidade cinemática ( \mathrm{m^2/s}).
  • Substituindo os dados: Re=\frac{9\cdot0,05}{1{,}01\times10^{-6}}=\frac{0{,}45}{1{,}01\times10^{-6}}\approx4{,}46\times10^{5}.
  • Interpretação: como Re\gg4000, o escoamento é turbulento. Portanto devemos usar uma correlação para o fator de atrito em escoamento turbulento (dependente da rugosidade relativa e de Re).

Passo 3

Escolher a rugosidade absoluta do material (dado não explicitado no enunciado, mas o tubo foi descrito como “aço comercial”).
  • Para tubos de aço comercial é usual adotar \varepsilon\approx0{,}045\\ \mathrm{mm}=0{,}000045\\ \mathrm{m} (valor tabelado típico).
  • Calcular a rugosidade relativa: \frac{\varepsilon}{D}=\frac{0{,}000045}{0{,}05}=0{,}0009.

Passo 4

Escolher uma fórmula prática para o fator de atrito (escolha do método).
  • A equação de Colebrook-White é a relação exata implícita mais usada, mas é iterativa. Para provas e cálculos rápidos usa-se uma aproximação explícita bem precisa: a fórmula de Haaland.
  • Fórmula de Haaland (expressa explicitamente f): \frac{1}{\sqrt{f}}=-1{,}8\log_{10}\!\left[\left(\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}\right)^{1{,}11}+\frac{6{,}9}{Re}\right].Aqui f é o fator de atrito de Darcy (adimensional), \varepsilon/D é a rugosidade relativa e Re é o número de Reynolds.
  • Justificativa curta: Haaland é explícita, simples de calcular à mão e suficientemente precisa para o nosso Re e \varepsilon/D.

Passo 5

Calcular passo a passo os termos da fórmula de Haaland.
  • Primeiro calcular \left(\dfrac{\varepsilon/D}{3{,}7}\right): \frac{\varepsilon/D}{3{,}7}=\frac{0{,}0009}{3{,}7}\approx0{,}000243243.
  • Elevar à potência 1{,}11: \left(0{,}000243243\right)^{1{,}11}\approx9{,}75\times10^{-5}.
  • Calcular \dfrac{6{,}9}{Re}: \frac{6{,}9}{4{,}46\times10^{5}}\approx1{,}55\times10^{-5}.
  • Somar os termos dentro do logaritmo: \left(\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}\right)^{1{,}11}+\frac{6{,}9}{Re}\approx9{,}75\times10^{-5}+1{,}55\times10^{-5}=1{,}1295\times10^{-4}.
  • Aplicar o logaritmo e o fator -1{,}8: \log_{10}\!\left(1{,}1295\times10^{-4}\right)\approx-3{,}947,
-1{,}8\log_{10}(\cdot)\approx-1{,}8\times(-3{,}947)=7{,}105.
  • Portanto \frac{1}{\sqrt{f}}\approx7{,}105\quad\Rightarrow\quad \sqrt{f}\approx0{,}1407.
  • Por fim, f\approx(0{,}1407)^2\approx0{,}0198.

Passo 6

Interpretar o resultado do fator de atrito e arredondamento.
  • O fator de atrito encontrado é \displaystyle f\approx0{,}0198. Para trabalho prático podemos arredondar para f\approx0{,}020 (duas casas significativas), mas manterei 0{,}0198 para cálculo da perda de carga.

Passo 7

Calcular a perda de carga usando a fórmula de Darcy–Weisbach.
  • Fórmula (expressa em altura de coluna de fluido, metros): h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^2}{2g},
onde h_f é a perda de carga (m), f é o fator de atrito, L é o comprimento (m), D é o diâmetro (m), V é a velocidade média (m/s) e g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^2}).
  • Calcular termos intermediários: \frac{L}{D}=\frac{1}{0{,}05}=20.
\frac{V^2}{2g}=\frac{9^2}{2\cdot9{,}8}=\frac{81}{19{,}6}\approx4{,}1327\\ \mathrm{m}.
  • Agora a perda de carga: h_f=0{,}0198\cdot20\cdot4{,}1327\approx0{,}396\cdot4{,}1327\approx1{,}64\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Comentário final rápido e motivador (útil para a prova):
  • Note que a perda de carga é expressa em metros de coluna de água; portanto para só 1 metro de cano e velocidade alta de 9\\ \mathrm{m/s} a perda é relativamente grande ( \sim1{,}6\\ \mathrm{m}), porque o termo cinético V^2/(2g) é já da ordem de 4{,}13\\ \mathrm{m}. Se a velocidade cair você reduz fortemente a perda (porque perde como V^2).
  • Dica prática para prova: calcule primeiro Re, escolha método (Haaland é ótimo se \varepsilon conhecida), e em seguida use Darcy–Weisbach para a perda de carga.

Resposta

Fator de atrito: f=0,0198
Perda de carga: h_f=1,64\\ \mathrm{m}

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