Um tubo plástico de 1,5 \mathrm{~cm} de diâmetro e 20 m de comprimento transporta água de um tanque pressurizado de 400 KPa até uma abertura livre localizada 3 m acima da superfície do tanque. Linha de água possui 3 joelhos e uma entrada de aresta viva vinda do tanque. Determine a vazão. Dados respectivamente os fatores de atrito da tubulação, do joelho e da entrada de aresta viva: f t=0,018 ; f j=1,6 ; f e=0,5.

Passo 1

O que o problema pede: determinar a vazão volumétrica que sai pela abertura livre.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
  • diâmetro da tubulação: D=1,5\\ \mathrm{cm}=0,015\\ \mathrm{m};
  • comprimento da tubulação: L=20\\ \mathrm{m};
  • pressão no interior do tanque (pressurizado): P_{\text{tanque}}=400\\ \mathrm{kPa}=400000\\ \mathrm{Pa};
  • a abertura livre está 3\\ \mathrm{m} acima da superfície do tanque, ou seja, diferença de nível z_{\text{out}}-z_{\text{tanque}}=+3\\ \mathrm{m};
  • número de joelhos: 3;
  • fator de atrito da tubulação (Darcy): f_t=0,018;
  • coeficiente (fator) por joelho: f_j=1,6 (assumo este f_j como K de perda local por joelho);
  • coeficiente da entrada de aresta viva: f_e=0,5 (ou seja K_{\text{entrada}}=0,5).
    Pressupostos úteis (aceitos para resolver): água com densidade \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}; velocidade na superfície do tanque desprezível (tanque grande).

Passo 2

Estratégia e fórmula fundamental (explicada de forma didática): vou aplicar a equação de Bernoulli entre a superfície livre pressurizada do tanque e a saída aberta à atmosfera, incluindo as perdas de carga ao longo da tubulação. A ideia física: a pressão extra no tanque gera uma “carga” disponível que é usada para elevar a água (3 m) e vencer perdas por atrito e acessórios; o que sobrar aparece como velocidade na saída.
A forma que vamos usar (em termos de cabeças em metros) é:
\frac{P_{\text{tanque}}-P_{\text{atm}}}{\rho g}+z_{\text{tanque}} = z_{\text{out}} + \frac{v^2}{2g} + h_L,
onde h_L é a perda total de carga (em metros) ao longo do trajeto. Como z_{\text{out}}=z_{\text{tanque}}+3, rearranjando temos a cabeça disponível:
H_{\text{disponível}}=\frac{P_{\text{tanque}}-P_{\text{atm}}}{\rho g}-3.í
Essa cabeça disponível é consumida pela energia cinética na saída mais as perdas:
H_{\text{disponível}}=\frac{v^2}{2g}+h_L.í

Passo 3

Expressão das perdas de carga h_L. Existem duas contribuições:
  1. perda por atrito distribuído (Darcy–Weisbach):
h_f = f_t\frac{L}{D}\cdot\frac{v^2}{2g},
onde f_t é o fator de atrito (Darcy), L/D é o número de diâmetros ao longo do tubo e v é a velocidade na tubulação (assumimos regime uniforme, mesma velocidade ao longo do tubo). Vou explicar: a fórmula diz que a perda por atrito é proporcional a v^2/(2g) (a cabeça cinética) multiplicada por um fator adimensional f_t L/D que mede quanto o comprimento e o atrito amplificam essa cabeça cinética.
2) perdas locais (entrada + joelhos): cada perda local é dada por K\cdot \dfrac{v^2}{2g}. Com isso:
h_L = f_t\frac{L}{D}\cdot\frac{v^2}{2g} + \left(K_{\text{entrada}} + \sum K_{\text{joelhos}}\right)\frac{v^2}{2g}.
No nosso caso:
K_{\text{entrada}}=f_e,\qquad \sum K_{\text{joelhos}} = 3 f_j.

Passo 4

Colocando tudo junto e isolando v. Escrevo H_{\text{disponível}}=\dfrac{v^2}{2g}\Big(1+f_t\frac{L}{D}+K_{\text{entrada}}+3f_j\Big)í. Portanto:
\frac{v^2}{2g}=\frac{H_{\text{disponível}}}{1+f_t\frac{L}{D}+K_{\text{entrada}}+3f_j},í
e finalmente
v=\sqrt{\;2g\;\frac{H_{\text{disponível}}}{1+f_t\frac{L}{D}+K_{\text{entrada}}+3f_j}\; }.í
Agora vamos calcular cada termo numericamente, passo a passo.

Passo 5

Calcular a cabeça disponível H_{\text{disponível}}í:
H_{\text{disponível}}=\frac{P_{\text{tanque}}-P_{\text{atm}}}{\rho g}-3=\frac{400000}{1000\cdot 9,81}-3.í
Calculemos:
\frac{400000}{1000\cdot 9,81}=\frac{400000}{9810}\approx 40,774\\ \mathrm{m}.
Logo
H_{\text{disponível}}\approx 40,774-3=37,774\\ \mathrm{m}.í

Passo 6

Calcular f_t\frac{L}{D} e os K locais:
\frac{L}{D}=\frac{20}{0,015}=1333{,}333\ldots
f_t\frac{L}{D}=0{,}018\times 1333{,}333\ldots =24{,}0.
Somatório dos K locais:
K_{\text{entrada}}+3f_j = 0{,}5 + 3\times 1{,}6 = 0{,}5 + 4{,}8 = 5{,}3.
Portanto o fator total multiplicador da cabeça cinética é
1 + f_t\frac{L}{D} + K_{\text{entrada}} + 3f_j = 1 + 24{,}0 + 5{,}3 = 30{,}3.

Passo 7

Calcular v usando a fórmula acumulada:
\frac{v^2}{2g}=\frac{37{,}774}{30{,}3}\approx 1{,}2469\\ \mathrm{m},
portanto
v^2=2g\times 1{,}2469 \approx 19{,}62\times 1{,}2469 \approx 24{,}460\\ \mathrm{m^2/s^2},
e
v\approx \sqrt{24{,}460}\approx 4{,}945\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Calcular a vazão volumétrica Q. Área da seção interna:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi (0,015)^2}{4}=\pi\cdot 0{,}00005625\approx 0{,}0001767\\ \mathrm{m^2}.
Então
Q=A\cdot v \approx 0{,}0001767\times 4{,}945 \approx 0{,}0008738\\ \mathrm{m^3/s}.
Convertendo para litros por segundo:
Q\approx 0{,}0008738\\ \mathrm{m^3/s}=0{,}8738\\ \mathrm{L/s}.

Passo 9

Resumo e checagem rápida (motivacional): o valor faz sentido fisicamente — o tubo é bem fino ( 1{,}5\\ \mathrm{cm}), temos perda significativa por comprimento ( f_t L/D=24) e joelhos com K altos, então a vazão fica abaixo de 1\\ \mathrm{L/s}. Nada absurdo. Se quiser aumentar muito a vazão na prova, o caminho é reduzir perdas (tubo maior, menos curvas) ou aumentar a pressão do tanque.

Resposta

Q\approx 8{,}74\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^3/s}\approx 0{,}874\\ \mathrm{L/s}

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