Um tubo plástico de
de diâmetro e 20 m de comprimento transporta água de um tanque pressurizado de 400 KPa até uma abertura livre localizada 3 m acima da superfície do tanque. Linha de água possui 3 joelhos e uma entrada de aresta viva vinda do tanque. Determine a vazão. Dados respectivamente os fatores de atrito da tubulação, do joelho e da entrada de aresta viva:
.
Passo 1
O que o problema pede: determinar a vazão volumétrica que sai pela abertura livre.
Informações dadas (copiadas do enunciado):
Informações dadas (copiadas do enunciado):
- diâmetro da tubulação:
; - comprimento da tubulação:
; - pressão no interior do tanque (pressurizado):
; - a abertura livre está
acima da superfície do tanque, ou seja, diferença de nível ; - número de joelhos:
; - fator de atrito da tubulação (Darcy):
; - coeficiente (fator) por joelho:
(assumo este como de perda local por joelho); - coeficiente da entrada de aresta viva:
(ou seja ).
Pressupostos úteis (aceitos para resolver): água com densidadee ; velocidade na superfície do tanque desprezível (tanque grande).
Passo 2
Estratégia e fórmula fundamental (explicada de forma didática): vou aplicar a equação de Bernoulli entre a superfície livre pressurizada do tanque e a saída aberta à atmosfera, incluindo as perdas de carga ao longo da tubulação. A ideia física: a pressão extra no tanque gera uma “carga” disponível que é usada para elevar a água (3 m) e vencer perdas por atrito e acessórios; o que sobrar aparece como velocidade na saída.
A forma que vamos usar (em termos de cabeças em metros) é:
onde
é a perda total de carga (em metros) ao longo do trajeto. Como
, rearranjando temos a cabeça disponível:
Essa cabeça disponível é consumida pela energia cinética na saída mais as perdas:
Passo 3
Expressão das perdas de carga
. Existem duas contribuições:
- perda por atrito distribuído (Darcy–Weisbach):
onde
é o fator de atrito (Darcy),
é o número de diâmetros ao longo do tubo e
é a velocidade na tubulação (assumimos regime uniforme, mesma velocidade ao longo do tubo). Vou explicar: a fórmula diz que a perda por atrito é proporcional a
(a cabeça cinética) multiplicada por um fator adimensional
que mede quanto o comprimento e o atrito amplificam essa cabeça cinética.
2) perdas locais (entrada + joelhos): cada perda local é dada por . Com isso:
2) perdas locais (entrada + joelhos): cada perda local é dada por
No nosso caso:
Passo 4
Colocando tudo junto e isolando
. Escrevo
. Portanto:
e finalmente
Agora vamos calcular cada termo numericamente, passo a passo.
Passo 5
Calcular a cabeça disponível
:
Calculemos:
Logo
Passo 6
Calcular
e os
locais:
Somatório dos
locais:
Portanto o fator total multiplicador da cabeça cinética é
Passo 7
Calcular
usando a fórmula acumulada:
portanto
e
Passo 8
Calcular a vazão volumétrica
. Área da seção interna:
Então
Convertendo para litros por segundo:
Passo 9
Resumo e checagem rápida (motivacional): o valor faz sentido fisicamente — o tubo é bem fino (
), temos perda significativa por comprimento (
) e joelhos com
altos, então a vazão fica abaixo de
. Nada absurdo. Se quiser aumentar muito a vazão na prova, o caminho é reduzir perdas (tubo maior, menos curvas) ou aumentar a pressão do tanque.