Água a 30^{\circ} \mathrm{C} é bombeada à taxa de 2,5 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de um reservatório que està 20 m acima de uma bomba para uma descarga livre 35 m acima da bomba. A pressão de sucção da bomba é de 100 kPa e no lado da descarga é de 750 kPa . Todos os tubos são de aço laminado com diâmetro nominal de 2 in . Determine a altura de carga fornecida pela bomba e a perda de carga total entre a bomba e o ponto de descarga livre. Considere a presença dos seguintes acessórios: 2 joelhos 90^{\circ}, 2 curvas 90^{\circ}, 1 registro globo 50 \% aberta e o comprimento total da tubulação de 200 m . Esta bomba está adequada para o sistema?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo certinho para não nos perder):
  • Vazão: \,Q = 2{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Temperatura da água: \,30^\circ\mathrm{C}.
  • Reservatório de sucção: está 20\\ \mathrm{m} acima da bomba.
  • Ponto de descarga livre: está 35\\ \mathrm{m} acima da bomba.
  • Pressão medida no lado de sucção da bomba: \,p_{1}=100\\ \mathrm{kPa}.
  • Pressão medida no lado de descarga da bomba: \,p_{2}=750\\ \mathrm{kPa}.
  • Tubulação: aço laminado, diâmetro nominal \,2\\ \mathrm{in} (vou tomar o diâmetro interno como \,d=2\\ \mathrm{in}=0{,}0508\\ \mathrm{m}).
  • Acessórios: 2 joelhos de 90^\circ, 2 curvas de 90^\circ, 1 registro globo 50\% aberto.
  • Comprimento total da tubulação: \,L=200\\ \mathrm{m}.
O que a questão pede:
  1. Determinar a altura de carga fornecida pela bomba (head fornecido pela bomba).
  2. Determinar a perda de carga total entre a bomba e o ponto de descarga livre.
  3. Dizer se a bomba é adequada para o sistema.
Observação: vou calcular tanto a perda de carga por atrito + acessórios (as perdas reais nos tubos) quanto a “perda total” obtida aplicando Bernoulli entre saída da bomba e superfície livre de descarga — explico a diferença ao longo do processo.

Passo 2

Propriedades da água a 30^\circ\mathrm{C} (valores padrão, arredondados):
  • Densidade: \displaystyle \rho \approx 995{,}7\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • viscosidade cinemática: \displaystyle \nu \approx 8{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{m^2/s}.
Explicação rápida (por que preciso disso): \rho entra nas conversões pressão \leftrightarrow altura ( p/(\rho g)) e \nu entra no número de Reynolds que determina o regime de escoamento (laminar/turbulento) e a fórmula para o fator de atrito.

Passo 3

Cálculo da velocidade média no tubo:
  • Área da seção: \displaystyle A=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}0508)^2}{4}=0{,}0020268\\ \mathrm{m^2}.
  • Velocidade média: \displaystyle V=\frac{Q}{A}=\frac{2{,}5\times10^{-4}}{0{,}0020268}=0{,}1234\\ \mathrm{m/s}.
Número de Reynolds (para ver qual fórmula de atrito usar):
\mathrm{Re}=\frac{V d}{\nu}=\frac{0{,}1234\cdot0{,}0508}{8{,}0\times10^{-7}}\approx 7{,}837\times10^{3}.
Como \mathrm{Re}>4000 o escoamento é turbulento, então usamos fórmulas para atrito em regime turbulento.

Passo 4

Escolha do fator de atrito \,f (Darcy–Weisbach): vou usar a fórmula explícita de Swamee–Jain (uma forma prática da equação de Colebrook) porque temos Re e rugosidade da tubulação de aço.
  • Rugosidade absoluta típica para aço comercial: \varepsilon\approx4{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
  • Relação \varepsilon/D = \dfrac{4{,}6\times10^{-5}}{0{,}0508}\approx 9{,}05\times10^{-4}.
Fórmula de Swamee–Jain:
f = 0{,}25\Bigg[\log_{10}\!\Big(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\Big)\Bigg]^{-2}.
Substituindo os números (mostro rápido os valores intermediários):
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}\approx 2{,}447\times10^{-4},\qquad \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx 1{,}794\times10^{-3}.
Somando e aplicando a fórmula dá
f\approx 0{,}0345.
Comentário: esse valor é razoável para tubos de aço com Re da ordem de 10^4.

Passo 5

Perda de carga por atrito (Darcy–Weisbach):
Fórmula:
h_f = f\frac{L}{D}\cdot\frac{V^2}{2g}.
Calculemos as grandezas:
\frac{V^2}{2g}=\frac{(0{,}1234)^2}{2\cdot9{,}81}=0{,}000776\\ \mathrm{m}.
\frac{L}{D}=\frac{200}{0{,}0508}=3937{,}01.
Logo
h_f = 0{,}0345\cdot 3937{,}01\cdot 0{,}000776 \approx 0{,}1055\\ \mathrm{m}.
Interpretação: dada a vazão muito pequena e o tubo relativamente grande em relação à vazão, o termo \dfrac{V^2}{2g} é pequeno, por isso h_f fica pequeno (cerca de 0,1 m).

Passo 6

Perdas localizadas (acessórios): precisamos somar os coeficientes K dos elementos e multiplicar por \dfrac{V^2}{2g}.
Escolhas típicas e justificativa (tabelas usuais):
  • Joelho 90° (curto raio / “joelho”): K\approx 0{,}9 cada.
  • Curva 90° (raio maior, “curva” mais suave): K\approx 0{,}2 cada.
  • Registro globo 50% aberto: K\approx 10 (globo muito dissipativo quando parcialmente aberto).
Somando:
\sum K = 2\times0{,}9 + 2\times0{,}2 + 10 = 12{,}2.
Perda por acessórios:
h_m = \Big(\sum K\Big)\frac{V^2}{2g}=12{,}2\cdot0{,}000776\approx 0{,}00947\\ \mathrm{m}.
Observação didática: os valores de K vêm de tabelas; se o registro estivesse totalmente aberto, K seria bem menor; o valor 10 é típico para uma globo parcialmente fechada.

Passo 7

Perda total por atrito + acessórios (somente perdas reais nos tubos):
h_{perdas\_reais}=h_f+h_m\approx 0{,}1055 + 0{,}00947 = 0{,}11497\\ \mathrm{m}\approx 0{,}115\\ \mathrm{m}.
Interpretação: isto é a perda de carga que se perde por conversão irreversível em calor devido ao atrito e às peças — muito pequena neste caso por causa da baixa velocidade.

Passo 8

Altura de carga fornecida pela bomba H_p (cálculo direto a partir das pressões no lado de sucção e descarga da bomba).
Energia adicionada pela bomba entre entrada (1) e saída (2), desprezando variações de elevação no interior da bomba (os dois pontos medidos na própria bomba têm praticamente a mesma cota) e com áreas iguais (mesma velocidade), é:
H_p=\frac{p_2-p_1}{\rho g}+\frac{V_2^2-V_1^2}{2g}+\big(z_2-z_1\big).
Aqui z_2-z_1\approx 0 (pontos próximos) e V_2\approx V_1, então apenas o termo de pressão importa:
H_p\approx\frac{p_2-p_1}{\rho g}.
Substituindo p_2-p_1=750000-100000=650000\\ \mathrm{Pa}, \rho=995{,}7\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}:
H_p=\frac{650000}{995{,}7\cdot9{,}81}\approx 66{,}56\\ \mathrm{m}.
Comentário: esse é o “head” que a bomba está, de fato, adicionando ao fluido segundo as leituras de pressão.

Passo 9

Perda de carga total entre a saída da bomba e o ponto de descarga livre (análise via Bernoulli entre o ponto imediatamente após a bomba e a superfície livre de descarga)
A equação de energia entre a saída da bomba (ponto 2) e a superfície livre de descarga (ponto 3, aberta à atmosfera) é:
\frac{p_2}{\rho g}+\frac{V_2^2}{2g}+z_2 - h_{entre} = \frac{p_3}{\rho g}+\frac{V_3^2}{2g}+z_3,
onde h_{entre} é a perda de carga entre esses pontos (ou seja, tudo que é gasto entre a saída da bomba e a superfície livre). Reorganizando:
h_{entre}= \frac{p_2}{\rho g}+\frac{V_2^2}{2g}+z_2 -\Big(\frac{p_3}{\rho g}+\frac{V_3^2}{2g}+z_3\Big).
Tomando p_3 como pressão atmosférica \,p_{atm}=101300\\ \mathrm{Pa}, z_2=0 (referência na bomba), z_3=35\\ \mathrm{m} e V_3\approx0 (superfície grande), temos:
\frac{p_2}{\rho g}=\frac{750000}{995{,}7\cdot9{,}81}\approx 76{,}78\\ \mathrm{m},
\frac{p_3}{\rho g}=\frac{101300}{995{,}7\cdot9{,}81}\approx 10{,}37\\ \mathrm{m},
e \dfrac{V_2^2}{2g}\approx 0{,}000776\\ \mathrm{m} (já calculado).
Logo
h_{entre}=76{,}78 + 0{,}000776 - (10{,}37 + 35) \approx 31{,}41\\ \mathrm{m}.
Interpretação física importante (leitura amiga): esse valor de \approx31{,}41\\ \mathrm{m} representa a energia que, saindo da bomba, é “gasta” até a superfície livre — inclui:
  • a elevação geométrica até 35\\ \mathrm{m},
  • a redução de pressão de 750\\ \mathrm{kPa} (no lado da bomba) até a pressão atmosférica na superfície,
  • e também as perdas por atrito + acessórios (que, neste caso, são apenas \approx0{,}115\\ \mathrm{m} do total).
Note que H_p que a bomba entrega ( \approx66{,}56\\ \mathrm{m}) se “gasta” em duas partes principais: elevar a água e reduzir a pressão para atmosférica (isto aparece nos 31{,}41\\ \mathrm{m} calculados) e o restante remanescente corresponde à diferença entre o que a bomba entrega e o que é necessário para atingir a superfície livre; a diferença aqui está relacionada à pressão no lado de sucção e às cotas (ver passo seguinte).

Passo 10

Verificação de adequação da bomba
Para saber se a bomba é adequada para levar água da superfície do reservatório de sucção (cota 20\\ \mathrm{m} acima da bomba) até a superfície livre de descarga (cota 35\\ \mathrm{m}), o “head requerido” é, pela energia entre as superfícies livres:
H_{req} = z_3 - z_0 + h_{perdas\_reais},
onde z_3-z_0 = 35-20 = 15\\ \mathrm{m} e h_{perdas\_reais}\approx0{,}115\\ \mathrm{m}. Assim
H_{req}\approx 15 + 0{,}115 = 15{,}115\\ \mathrm{m}.
A bomba fornece H_p\approx66{,}56\\ \mathrm{m}, bem acima do requerido. Portanto, quanto à capacidade de superar as cotas e as perdas, a bomba é mais do que suficiente (tem muita margem).
Comentário final de bom senso: a leitura de pressão no lado de descarga ( 750\\ \mathrm{kPa}) indica que a bomba está elevando a pressão interna muito além do estritamente necessário para vencer só as perdas e a elevação entre as superfícies livres (isso pode indicar que o sistema está fechado logo após a bomba ou que a bomba está funcionando em ponto de operação com grande sobrepressão). Em termos práticos a bomba é adequada para transportar o fluido entre as superfícies livres; entretanto essa pressão alta também pode gerar esforços e exigir verificação de projeto da tubulação e válvulas (não solicitado no enunciado, mas vale prestar atenção).

Resposta

Altura de carga fornecida pela bomba: 66{,}56\\ \mathrm{m}
Perda de carga total entre a bomba e o ponto de descarga livre (energia gasta entre saída da bomba e superfície livre, via Bernoulli): 31{,}41\\ \mathrm{m}
Perda de carga por atrito + acessórios (somente perdas reais nos tubos): 0{,}115\\ \mathrm{m}
Esta bomba está adequada para o sistema? Sim (o head requerido para vencer elevação + perdas é \approx15{,}12\\ \mathrm{m}, muito menor que H_p=66{,}56\\ \mathrm{m}).

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