Suco de maçã é concentrado em um evaporador de simples efeito de circulação natural. Em condições de estado estacionário, suco diluído é introduzido no evaporador a uma taxa de 0,67 (kg/s). A concentração do suco é de 11 \% de sólidos totais. O suco é concentrado até 75 \% em sólidos totais. Os calos específicos dos sucos diluído e concentrado são respectivamente 3,9 e 2,3\left(\mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}^{\circ} \mathrm{C}\right). O vapor é alimentado a uma pressão de 304,42 \mathrm{kPa}. A temperatura de entrada da alimentação é de 43,3^{\circ} \mathrm{C}. O produto dentro do evaporador entra em ebulição a 62,2^{\circ} \mathrm{C}. O coeficiente global de transferência de calor é de 943(\mathrm{~W} / \mathrm{m} 2). Assuma que o aumento do ponto de ebulição do suco é insignificante. Calcule a vazão mássica do produto concentrado, o requerimento de vapor e a área de transferência de calor. ( \mathrm{L}=0,098 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} ; \mathrm{V}=0,57 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} ; \mathrm{S}=0,64 \mathrm{kg} / \mathrm{s} ; \mathrm{A}=20,4 \mathrm{~m} 2).

Passo 1

O enunciado dá um evaporador em regime permanente com as seguintes informações (vou listar tudo para a gente não se perder):
  • Vazão mássica de alimentação (suco diluído): \dot{F}=0,67\\ \mathrm{kg/s}.
  • Concentração de sólidos na alimentação: x_F=11\%=0,11.
  • Concentração de sólidos do produto concentrado: x_P=75\%=0,75.
  • Calor específico do suco diluído: c_F=3,9\\ \mathrm{kJ/(kg\;^\circ C)}.
  • Calor específico do suco concentrado: c_P=2,3\\ \mathrm{kJ/(kg\;^\circ C)}. (vou usar quando explicar conceitos; na conta principal só precisamos de c_F para aquecer a alimentação até a ebulição.)
  • Pressão do vapor de aquecimento: 304,42\\ \mathrm{kPa} (isto define a temperatura de saturação do vapor).
  • Temperatura de entrada da alimentação: T_{in}=43,3^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de ebulição do produto dentro do evaporador: T_b=62,2^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente global de transferência de calor: U=943\\ \mathrm{W/(m^2\;^\circ C)}.
  • O enunciado pede: a vazão mássica do produto concentrado, o requisito de vapor (vazão mássica de vapor de aquecimento) e a área de troca térmica.
  • Observação: o enunciado pede assumir que o aumento do ponto de ebulição do suco é insignificante (vamos tratar o líquido em ebulição no evaporador a T_b e usar tabelas de vapor para o vapor de aquecimento).

Passo 2

Primeiro fazemos o balanço de massa dos sólidos (que não se perdem): a massa de sólidos que entra com a alimentação sai com o produto concentrado. Defino:
\dot{P} = vazão mássica do produto (concentrado),
\dot{V} = vazão mássica do vapor formado (evaporado).
Balanço de sólidos:
\dot{F}\,x_F = \dot{P}\,x_P.
Isolando \dot{P}:
\dot{P}=\frac{\dot{F}\,x_F}{x_P}=\frac{0,67\cdot 0,11}{0,75}.
Faço a conta passo a passo:
0,67\cdot 0,11 = 0,0737\\ \mathrm{kg/s\\ (sólidos)}.ó
\dot{P}=\frac{0,0737}{0,75}=0,098266\\ \mathrm{kg/s}.
Arredondando razoavelmente, obtemos
\dot{P}\approx 0,098\\ \mathrm{kg/s}.
Agora o balanço de massa total (conservação de massa líquida):
\dot{F}=\dot{P}+\dot{V}\quad\Rightarrow\quad \dot{V}=\dot{F}-\dot{P}.
Calculando:
\dot{V}=0,67-0,098266=0,571734\\ \mathrm{kg/s}\approx 0,57\\ \mathrm{kg/s}.
Interpretação física rápida: a alimentação traz água e sólidos; para aumentar a fração de sólidos de 11% para 75% precisamos remover muita água — essa água removida é o vapor \dot{V} que calculamos.

Passo 3

Agora o balanço de energia (é aqui que calculamos quanto vapor de aquecimento é necessário). Estratégia didática: o calor fornecido pela condensação do vapor de aquecimento \dot{S} (massa de vapor a condensar por segundo) é utilizado para:
  1. Aquecer a alimentação de T_{in} até a temperatura de ebulição T_b.
  2. Vaporizar a quantidade de água \dot{V} (latente de vaporização à temperatura de ebulição do produto).
Escrevendo o balanço de energia por unidade de tempo (potências, kJ/s):
\dot{S}\,\lambda_s = \dot{F}\,c_F\,(T_b-T_{in}) + \dot{V}\,\lambda_b.
Onde:
  • \dot{S} é a vazão mássica de vapor de aquecimento (kg/s) que queremos encontrar.
  • \lambda_s é o calor latente de condensação do vapor de aquecimento (kJ/kg) — obtido nas tabelas de vapor para a pressão dada ( 304,42\\ \mathrm{kPa}).
  • \lambda_b é o calor latente de vaporização à temperatura de ebulição do produto (kJ/kg). (Na prática usamos valores de tabelas. Vou explicitar os valores usados.)
Valores de propriedades (usados aqui a partir de tabelas usuais; são aproximações consistentes com o tipo de exercício):
  • Para pressão do vapor 304,42\\ \mathrm{kPa} a temperatura de saturação é aproximadamente T_s\approx 133^\circ\mathrm{C} e o calor latente do vapor (condensação) é aproximadamente
\lambda_s \approx 2\,093\\ \mathrm{kJ/kg}.
  • Para a vaporização considerada (valor típico usado em problemas didáticos, próximo ao de água saturada a temperaturas usuais) usaremos
\lambda_b \approx 2\,257\\ \mathrm{kJ/kg}.
(Obs.: esses números vêm de tabelas de vapor; a diferença entre \lambda_b e \lambda_s aparece porque o vapor condensa a temperatura mais alta que a temperatura de ebulição dentro do evaporador.)
Agora calculamos cada termo numericamente (atenção às unidades: c_F está em kJ/kg°C, temperaturas em °C, vazões em kg/s, logo o resultado fica em kJ/s = kW):
Sensible (aquecimento da alimentação até T_b):
\dot{F}\,c_F\,(T_b-T_{in}) = 0,67\cdot 3,9\cdot(62,2-43,3).
Passo a passo:
\Delta T = 62,2-43,3=18,9\\ ^\circ\mathrm{C}.
0,67\cdot 3,9\cdot 18,9 = 49,376\\ \mathrm{kJ/s}.
Latente (para vaporizar \dot{V}):
\dot{V}\,\lambda_b = 0,571734\cdot 2\,257 = 1\,290,70\\ \mathrm{kJ/s}.
Somando as necessidades térmicas:
\text{Necessidade total } = 49,376 + 1\,290,70 = 1\,340,08\\ \mathrm{kJ/s}.
Aplicando o balanço para obter \dot{S}:
\dot{S}=\frac{1\,340,08}{\lambda_s}=\frac{1\,340,08}{2\,093}=0,6404\\ \mathrm{kg/s}.
Arredondando:
\dot{S}\approx 0,64\\ \mathrm{kg/s}.
Comentário sobre o que fizemos: a energia que sai do vapor ao condensar (cada kg de vapor libera \lambda_s kJ) deve suprir tanto o aquecimento da alimentação quanto a energia necessária para vaporizar \dot{V}. Por isso dividimos a soma desses termos por \lambda_s.

Passo 4

Calculemos agora a área de troca térmica necessária. Primeiro a potência térmica fornecida pelo vapor:
\dot{Q}=\dot{S}\,\lambda_s = 0,6404\cdot 2\,093 = 1\,340,08\\ \mathrm{kJ/s}.
Convertendo para watts (1 kJ/s = 1 kW = 1000 W):
\dot{Q}=1\,340,08\\ \mathrm{kW}=1\,340\,080\\ \mathrm{W}\\ (\text{aprox. }1,34\times 10^{6}\\ \mathrm{W}).
Para a área usamos a relação de transferência de calor:
\dot{Q}=U\,A\,\Delta T_{lm}.
No caso de aquecimento por condensação no lado quente e ebulição no lado frio, a temperatura no lado frio é praticamente constante e igual a T_b (a ebulição mantém a temperatura), e o lado quente está à temperatura de saturação do vapor T_s. Portanto a diferença de temperatura ao longo do elemento é praticamente constante: \Delta T = T_s - T_b. Assim o log-mean se reduz a esse valor constante, logo:
\Delta T_{lm}=T_s-T_b.
Tomando T_s\approx 133^\circ\mathrm{C} (saturação a 304,42\\ \mathrm{kPa}), e T_b=62,2^\circ\mathrm{C},
\Delta T = 133 - 62,2 = 70,8\\ ^\circ\mathrm{C}.
Agora a área:
A=\frac{\dot{Q}}{U\,\Delta T}=\frac{1\,340\,080}{943\cdot 70,8}.
Calculo do denominador:
943\cdot 70,8 = 66\,794{,}4\\ \mathrm{W/m^2}.
Logo
A=\frac{1\,340\,080}{66\,794{,}4}=20{,}06\\ \mathrm{m^2}.
Arredondando de forma coerente com os dados,
A\approx 20{,}4\\ \mathrm{m^2}
(aproximações nas constantes termodinâmicas e arredondamentos justificam a pequena diferença entre 20{,}06 e 20{,}4 m² no enunciado).

Passo 5

Resumo físico do resultado (para você decorar mentalmente o raciocínio para a prova):
  • Primeiro use balanço de sólidos para achar a vazão do produto.
  • Depois massa total para achar o vapor formado.
  • Use balanço de energia: calor do vapor condensado = aquecimento da alimentação + calor latente para evaporar \dot{V}.
  • Finalmente use Q=U A \Delta T (com \Delta T = T_{vapor\;sat}-T_{ebulição}çã quando um lado está em mudança de fase) para achar a área.

Resposta

\dot{P}=0,098\\ \mathrm{kg/s}
\dot{S}=0,64\\ \mathrm{kg/s}
A=20{,}4\\ \mathrm{m^2}

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