Água a
escoa através de um tubo de ferro fundido de 6 in de diâmetro interno a velocidade de
. O tubo tem 120 ft de comprimento e há uma elevação de 2 ft entre a entrada e a saída do fluido. Determine a potência necessária para causar o escoamento a essa vazão, admitindo que tanto a sucção como a descarga estão a pressão atmosférica. Dados:
, Ferro fundido:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a potência necessária para manter o escoamento:
- Diâmetro interno do tubo:
. - Velocidade do escoamento:
. - Comprimento do tubo:
. - Elevação entre entrada e saída:
— assumo que a saída está acima da entrada, portanto este é o ganho de carga que a bomba deve vencer. - Pressão na sucção e na descarga: pressão atmosférica (ou seja, diferença de pressão entre entrada e saída é zero).
- Viscosidade dinâmica:
. - Dado referente a ferro fundido informado no enunciado (houve ambiguidade): texto contém "Ferro fundido:
". Isto é improvável (rel. rugosidade tão grande seria irreal); por isso vou interpretar que o enunciado quis dizer que a rugosidade absoluta do ferro fundido é . Vou explicitar essa hipótese quando for usada. - Rendimento (eficiência) da bomba:
(interpretando “N=0,83” como eficiência). - Não foi fornecida a massa específica da água; tomo a densidade da água a
(≈ ) como . Se preferir posso refazer com , a diferença é pequena.
O que é pedido: calcular a potência necessária fornecida pela bomba (potência de entrada), considerando perdas por atrito no tubo e o ganho de elevação, e levando em conta o rendimento dado.
Passo 2
Calcular a vazão volumétrica
a partir da velocidade e da área da seção transversal.
- Área da seção circular:
Substituindo
,
- Vazão volumétrica:
Substituindo
,
(Comentário didático: a vazão é o volume que atravessa a seção por unidade de tempo. Em provas, esta é a etapa básica: área × velocidade média.)
Passo 3
Verificar o regime de escoamento calculando o número de Reynolds
.
- Definição:
onde
é a densidade,
a velocidade média,
o diâmetro e
a viscosidade dinâmica.
- Substituindo
, , e ,
(Interpretação:
, logo o escoamento é turbulento. Nas provas isso define que devemos usar fórmulas de atrito para regime turbulento.)
Passo 4
Determinar a rugosidade relativa
e esclarecer a hipótese feita.
- Hipótese (por ambiguidade do enunciado): tomo a rugosidade absoluta do ferro fundido como
. - Logo:
(Comentário didático: a rugosidade relativa
é usada nas equações empíricas para o fator de atrito em tubos rugosos; valores típicos para ferro fundido ficam na ordem de
.)
Passo 5
Calcular o fator de atrito de Darcy–Weisbach
para escoamento turbulento usando a fórmula explícita de Swamee–Jain (bastante usada em provas por ser direta).
- Fórmula de Swamee–Jain:
Esta fórmula é uma aproximação explícita equivalente à solução da equação implícita de Colebrook; é adequada para
.
- Calculemos os termos:
Então
(Comentário didático:
é adimensional e quantifica as perdas por atrito por unidade de comprimento; valores típicos para tubos comerciais em regime turbulento ficam entre
e
.)
Passo 6
Calcular a perda de carga por atrito
usando a fórmula de Darcy–Weisbach.
- Fórmula:
onde
.
- Primeiro calcule
:
- Relação
:
- Então:
(Interpretação: isto é a “perda de cabeça” ao longo dos 36,576 m do tubo causada pelo atrito.)
Passo 7
Calcular a carga total
que a bomba deve fornecer.
-
A bomba deve superar a perda por atrito
e o salto de elevação . Não há diferença de pressão entre entrada e saída (ambas atmosféricas), então não há termo de pressão a considerar. -
Logo:
(Comentário didático:
é a “carga hidráulica” total em metros de coluna d’água que a bomba precisa fornecer para manter a vazão desejada.)
Passo 8
Calcular a potência hidráulica entregue ao fluido
.
- Fórmula da potência hidráulica:
onde
é a densidade da água,
a gravidade,
a vazão e
a carga total.
- Substituindo valores:
(Interpretação: isto é a potência realmente “entregue” ao fluido — o trabalho por segundo requerido para elevar e vencer as perdas.)
Passo 9
Calcular a potência de entrada na bomba
considerando o rendimento
.
- Relação entre potência de entrada e potência hidráulica:
- Com
:
- Converter para cavalos-vapor (CV), sabendo que
:
(Comentário didático: na prática escolhe-se uma bomba com potência comercial acima desse valor; aqui obtivemos a potência mínima teórica levando em conta eficiência.)
Passo 10
Resumo das hipóteses e sensibilidade:
- Hipóteses feitas explicitamente:
e . Se usássemos , aumentaria muito pouco (ordem de ). Se a interpretação da rugosidade estivesse errada (por exemplo se como número sem unidades), o fator de atrito mudaria muito e os resultados seriam diferentes; por isso justificamos a hipótese por plausibilidade (valores típicos de para ferro fundido são da ordem de a ).
Resposta
Potência necessária na bomba:
Potência necessária na unidade CV:
Potência necessária na unidade CV: