Água a 59{ }^{\circ} \mathrm{F} escoa através de um tubo de ferro fundido de 6 in de diâmetro interno a velocidade de 4 \mathrm{ft} / \mathrm{s}. O tubo tem 120 ft de comprimento e há uma elevação de 2 ft entre a entrada e a saída do fluido. Determine a potência necessária para causar o escoamento a essa vazão, admitindo que tanto a sucção como a descarga estão a pressão atmosférica. Dados: \boldsymbol{\mu}=1,1404 \times 10^{-3} \mathrm{~Pa} . \mathrm{s}, Ferro fundido: \boldsymbol{\varepsilon} / \mathrm{D}=0,26 . \boldsymbol{R}: \boldsymbol{N}=\mathbf{0 , 8 3} \boldsymbol{C} \boldsymbol{V}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a potência necessária para manter o escoamento:
  • Diâmetro interno do tubo: D=6\\ \text{in} = 0,1524\\ \text{m}.
  • Velocidade do escoamento: V=4\\ \text{ft/s}=1,2192\\ \text{m/s}.
  • Comprimento do tubo: L=120\\ \text{ft}=36,576\\ \text{m}.
  • Elevação entre entrada e saída: \Delta z=2\\ \text{ft}=0,6096\\ \text{m} — assumo que a saída está 0,6096\\ \text{m} acima da entrada, portanto este é o ganho de carga que a bomba deve vencer.
  • Pressão na sucção e na descarga: pressão atmosférica (ou seja, diferença de pressão entre entrada e saída é zero).
  • Viscosidade dinâmica: \mu=1,1404\times 10^{-3}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}.
  • Dado referente a ferro fundido informado no enunciado (houve ambiguidade): texto contém "Ferro fundido: \varepsilon / D =0,26". Isto é improvável (rel. rugosidade tão grande seria irreal); por isso vou interpretar que o enunciado quis dizer que a rugosidade absoluta do ferro fundido é \varepsilon=0,26\\ \text{mm}=2,6\times 10^{-4}\\ \text{m}. Vou explicitar essa hipótese quando for usada.
  • Rendimento (eficiência) da bomba: \eta=0,83 (interpretando “N=0,83” como eficiência).
  • Não foi fornecida a massa específica da água; tomo a densidade da água a 59^\circ\text{F} (≈ 15^\circ\text{C}) como \rho\approx 999\\ \text{kg/m}^3. Se preferir posso refazer com \rho=1000\\ \text{kg/m}^3, a diferença é pequena.
O que é pedido: calcular a potência necessária fornecida pela bomba (potência de entrada), considerando perdas por atrito no tubo e o ganho de elevação, e levando em conta o rendimento dado.

Passo 2

Calcular a vazão volumétrica \,Q a partir da velocidade e da área da seção transversal.
  • Área da seção circular:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo D=0,1524\\ \text{m},
A=\frac{\pi (0,1524)^{2}}{4}\approx 0,018253\\ \text{m}^{2}.
  • Vazão volumétrica:
Q=A V.
Substituindo V=1,2192\\ \text{m/s},
Q\approx 0,018253\cdot 1,2192 \approx 0,022264\\ \text{m}^3/\text{s}.
(Comentário didático: a vazão é o volume que atravessa a seção por unidade de tempo. Em provas, esta é a etapa básica: área × velocidade média.)

Passo 3

Verificar o regime de escoamento calculando o número de Reynolds \,Re.
  • Definição:
Re=\frac{\rho V D}{\mu},
onde \rho é a densidade, V a velocidade média, D o diâmetro e \mu a viscosidade dinâmica.
  • Substituindo \rho=999\\ \text{kg/m}^3, V=1,2192\\ \text{m/s}, D=0,1524\\ \text{m} e \mu=1,1404\times 10^{-3}\\ \text{Pa}\cdot\text{s},
Re \approx \frac{999\cdot 1,2192\cdot 0,1524}{1,1404\times 10^{-3}} \approx 1,62\times 10^{5}.
(Interpretação: Re\gg 4000, logo o escoamento é turbulento. Nas provas isso define que devemos usar fórmulas de atrito para regime turbulento.)

Passo 4

Determinar a rugosidade relativa \varepsilon/D e esclarecer a hipótese feita.
  • Hipótese (por ambiguidade do enunciado): tomo a rugosidade absoluta do ferro fundido como \varepsilon=0,26\\ \text{mm}=2,6\times 10^{-4}\\ \text{m}.
  • Logo:
\frac{\varepsilon}{D}=\frac{2{,}6\times 10^{-4}}{0{,}1524}\approx 1{,}706\times 10^{-3}.
(Comentário didático: a rugosidade relativa \varepsilon/D é usada nas equações empíricas para o fator de atrito em tubos rugosos; valores típicos para ferro fundido ficam na ordem de 10^{-3}.)

Passo 5

Calcular o fator de atrito de Darcy–Weisbach f para escoamento turbulento usando a fórmula explícita de Swamee–Jain (bastante usada em provas por ser direta).
  • Fórmula de Swamee–Jain:
f=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}+\frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\right)\right]^{2}}.
Esta fórmula é uma aproximação explícita equivalente à solução da equação implícita de Colebrook; é adequada para Re\gtrsim 5000.
  • Calculemos os termos:
Re^{0{,}9}\approx (1{,}628\times 10^{5})^{0{,}9}\approx 4{,}89\times 10^{4},
\frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\approx 1{,}17\times 10^{-4},
\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}\approx \frac{1{,}706\times 10^{-3}}{3{,}7}\approx 4{,}613\times 10^{-4},
\frac{\varepsilon/D}{3{,}7}+\frac{5{,}74}{Re^{0{,}9}}\approx 5{,}787\times 10^{-4}.
Então
\log_{10}\!\left(5{,}787\times 10^{-4}\right)\approx -3{,}2374,
f\approx \frac{0{,}25}{(-3{,}2374)^{2}}\approx 0{,}02385.
(Comentário didático: f é adimensional e quantifica as perdas por atrito por unidade de comprimento; valores típicos para tubos comerciais em regime turbulento ficam entre 0{,}01 e 0{,}05.)

Passo 6

Calcular a perda de carga por atrito \,h_f usando a fórmula de Darcy–Weisbach.
  • Fórmula:
h_f = f\frac{L}{D}\frac{V^{2}}{2g},
onde g=9{,}81\\ \text{m/s}^2.
  • Primeiro calcule V^{2}/(2g):
\frac{V^{2}}{2g}=\frac{(1{,}2192)^{2}}{2\cdot 9{,}81}\approx 0{,}07579\\ \text{m}.
  • Relação L/D:
\frac{L}{D}=\frac{36{,}576}{0{,}1524}=240.
  • Então:
h_f\approx 0{,}02385\cdot 240\cdot 0{,}07579\approx 0{,}4339\\ \text{m}.
(Interpretação: isto é a “perda de cabeça” ao longo dos 36,576 m do tubo causada pelo atrito.)

Passo 7

Calcular a carga total H que a bomba deve fornecer.
  • A bomba deve superar a perda por atrito h_f e o salto de elevação \Delta z. Não há diferença de pressão entre entrada e saída (ambas atmosféricas), então não há termo de pressão a considerar.
  • Logo:
H = h_f + \Delta z \approx 0{,}4339 + 0{,}6096 \approx 1{,}0435\\ \text{m}.
(Comentário didático: H é a “carga hidráulica” total em metros de coluna d’água que a bomba precisa fornecer para manter a vazão desejada.)

Passo 8

Calcular a potência hidráulica entregue ao fluido P_{hid}.
  • Fórmula da potência hidráulica:
P_{hid}=\rho g Q H,
onde \rho é a densidade da água, g a gravidade, Q a vazão e H a carga total.
  • Substituindo valores:
P_{hid}\approx 999\cdot 9{,}81\cdot 0{,}022264\cdot 1{,}0435 \approx 227{,}64\\ \text{W}.
(Interpretação: isto é a potência realmente “entregue” ao fluido — o trabalho por segundo requerido para elevar e vencer as perdas.)

Passo 9

Calcular a potência de entrada na bomba P_{in} considerando o rendimento \eta.
  • Relação entre potência de entrada e potência hidráulica:
P_{in}=\frac{P_{hid}}{\eta}.
  • Com \eta=0{,}83:
P_{in}\approx \frac{227{,}64}{0{,}83}\approx 274{,}27\\ \text{W}.
  • Converter para cavalos-vapor (CV), sabendo que 1\\ \text{CV}\approx 735{,}5\\ \text{W}:
P_{in}\\ (\text{CV})\approx \frac{274{,}27}{735{,}5}\approx 0{,}373\\ \text{CV}.
(Comentário didático: na prática escolhe-se uma bomba com potência comercial acima desse valor; aqui obtivemos a potência mínima teórica levando em conta eficiência.)

Passo 10

Resumo das hipóteses e sensibilidade:
  • Hipóteses feitas explicitamente: \rho=999\\ \text{kg/m}^3 e \varepsilon=0{,}26\\ \text{mm}. Se usássemos \rho=1000\\ \text{kg/m}^3, P_{in} aumentaria muito pouco (ordem de <0{,}5\%). Se a interpretação da rugosidade estivesse errada (por exemplo se \varepsilon/D=0{,}26 como número sem unidades), o fator de atrito mudaria muito e os resultados seriam diferentes; por isso justificamos a hipótese por plausibilidade (valores típicos de \varepsilon para ferro fundido são da ordem de 10^{-4} a 10^{-3}\\ \text{m}).

Resposta

Potência necessária na bomba: P_{in}\approx 274{,}3\\ \mathrm{W}
Potência necessária na unidade CV: P_{in}\approx 0{,}373\\ \mathrm{CV}

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