Considere a instalação abaixo, no qual um fluido com densidade 1050 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3} e viscosidade de
2,0.10^{-3} \mathrm{~Pa}.s é bombeado de um tanque a outro mais elevado, através de uma tubulação de aço comercial com diâmetro interno de 0,052 \mathrm{~m}, a uma vazão volumétrica de 2,0.10^{-3} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Durante o bombeamento, as válvulas tipo gaveta deverão estar completamente abertas e as mudanças de direção na tubulação são feitas por meio de cotovelos padrão de 90 o. Determine a potência da bomba, considerando eficiência de 100 \%. \boldsymbol{R} : \boldsymbol{N}=\mathbf{0 , 1 3} \boldsymbol{C V}

Passo 1

O enunciado pede a potência da bomba (eficiência 100\%) que transfere um fluido de um tanque para outro mais elevado, usando a tubulação mostrada na figura. Informações extraídas da figura e do enunciado (estou pegando explicitamente estes comprimentos/alturas da imagem):
  • Densidade do fluido: \rho=1050\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Viscosidade dinâmica: \mu=2{,}0\cdot 10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
  • Diâmetro interno da tubulação: D=0{,}052\\ \mathrm{m}.
  • Vazão volumétrica: Q=2{,}0\cdot 10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Trechos retilíneos (da figura): trecho entre tanque origem e bomba =2\\ \mathrm{m}; trecho entre bomba e válvula de descarga =2\\ \mathrm{m}; subida vertical =5\\ \mathrm{m}; trecho superior horizontal =1\\ \mathrm{m}; trecho final de descida para o tanque =0{,}5\\ \mathrm{m}. Portanto o comprimento total da tubulação (percorrido pelo fluido) que vamos considerar é L_{\mathrm{tot}}=2+2+5+1+0{,}5=10{,}5\\ \mathrm{m}.
  • A tubulação tem mudanças de direção por cotovelos de 90^\circ. Pela figura conto 3 cotovelos no trecho de descarga (um na saída da bomba para cima, um no topo para a horizontal, e um na entrada do tanque para descer).
  • Válvulas do tipo gaveta: há uma na sucção e outra na descarga; estão completamente abertas (ainda assim têm perda menor, com coeficiente de perda).
  • Entradas e saídas entre tanque e tubulação: existe a entrada na sucção (do reservatório para a tubulação) e a saída na descarga (da tubulação para o reservatório superior).
  • O que se pede: potência requerida da bomba (considerando eficiência 100\%). Vou calcular a potência hidrodinâmica necessária P=\rho g Q H, onde H é a cabeça total de elevação (diferença de nível entre superfícies livres mais perdas por atrito e perdas localizadas).

Passo 2

Plano de cálculo (apenas para organizar; a execução começa no Passo 3):
  • Calcular área da seção e velocidade média V.
  • Calcular número de Reynolds \mathrm{Re} para determinar o regime e obter o fator de atrito f (usarei a fórmula explícita de Swamee–Jain).
  • Calcular perda por atrito de Darcy–Weisbach \;h_f=f\,(L/D)\,(V^{2}/2g).
  • Estimar coeficientes de perda local K (entrada, saída, válvulas, cotovelos) e somar para obter h_m = \left(\sum K\right)\,V^{2}/2g.
  • Somar diferença de cota entre superfícies livres \Delta z (extraída da figura) com h_f e h_m para obter a cabeça total H.
  • Calcular potência P=\rho g Q H e converter para \mathrm{CV} ( 1\\ \mathrm{CV}=735{,}5\\ \mathrm{W}).

Passo 3

Cálculo da área da seção e velocidade média.
  • Área da seção circular:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}052)^{2}}{4}.
Vamos calcular numericamente:
D^{2}=0{,}052^{2}=0{,}002704\quad\Rightarrow\quad A=\frac{\pi\cdot 0{,}002704}{4}=0{,}002124\\ \mathrm{m^{2}}\\ (\text{aprox.}).
  • Velocidade média:
V=\frac{Q}{A}=\frac{2{,}0\cdot 10^{-3}}{0{,}002124}=0{,}9416\\ \mathrm{m/s}\\ (\text{aprox.}).
Explicação didática: a velocidade média em um tubo circular é simplesmente a vazão dividida pela área da seção. Sempre calcule a área com A=\pi D^{2}/4.

Passo 4

Cálculo do número de Reynolds e regime de escoamento.
  • Fórmula do número de Reynolds:
\mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu}.
Substituindo:
\mathrm{Re}=\frac{1050\cdot 0{,}9416\cdot 0{,}052}{2{,}0\cdot 10^{-3}}.
Calcule:
\rho V D \approx 1050\cdot 0{,}9416\cdot 0{,}052 \approx 51{,}41,
\mathrm{Re}\approx \frac{51{,}41}{2\cdot 10^{-3}} \approx 25{,}705 \;(\approx 2{,}57\cdot 10^{4}).
Interpretação: \mathrm{Re}\approx 2{,}6\cdot 10^{4} indica escoamento turbulento (pois \mathrm{Re}\gg 4000).
Didática: o número de Reynolds indica se o escoamento é laminar ( \mathrm{Re}\lesssim 2000), de transição ou turbulento ( \mathrm{Re}\gtrsim 4000). No regime turbulento precisamos usar fórmulas para o fator de atrito que dependem da rugosidade relativa.

Passo 5

Determinação do fator de atrito f (Darcy) usando a fórmula explícita de Swamee–Jain (adequada para escoamento turbulento em tubos rugosos).
  • Vamos assumir rugosidade absoluta típica para aço comercial \varepsilon=4{,}5\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{m} (valor usual em tabelas).
  • A fórmula de Swamee–Jain (explícita) é:
f=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{2}}.
  • Primeiro calcule os termos:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}=\frac{4{,}5\cdot 10^{-5}}{3{,}7\cdot 0{,}052}\approx 2{,}34\cdot 10^{-4},
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx \frac{5{,}74}{(2{,}5705\cdot 10^{4})^{0{,}9}}\approx 6{,}15\cdot 10^{-4}.
Soma dentro do log:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx 8{,}49\cdot 10^{-4}.
\log_{10}(\cdots)\approx -3{,}0716.
f=\frac{0{,}25}{(-3{,}0716)^{2}}\approx 0{,}0250\text{ a }0{,}0265\\ (\text{nesta ordem}; calculando com mais precisão: }f\approx 0{,}02649).
Didática: o fator de atrito de Darcy relaciona a perda de carga por atrito ao quadrado da velocidade. Em regime turbulento e quando a rugosidade importa, usa-se Colebrook (implícita) ou aproximações explícitas como Swamee–Jain. Eu usei Swamee–Jain para evitar iterações.

Passo 6

Cálculo da perda por atrito (Darcy–Weisbach).
  • Fórmula:
h_{f}=f\;\frac{L}{D}\;\frac{V^{2}}{2g}.
  • Primeiro calcule \dfrac{V^{2}}{2g}:
\frac{V^{2}}{2g}=\frac{0{,}9416^{2}}{2\cdot 9{,}81}\approx \frac{0{,}8866}{19{,}62}\approx 0{,}04518\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento total do trecho (conforme identificação no Passo 1): L=10{,}5\\ \mathrm{m}. Então L/D=10{,}5/0{,}052\approx 201{,}92.
  • Com f\approx 0{,}02649:
h_{f}=0{,}02649\cdot 201{,}92\cdot 0{,}04518\approx 0{,}2415\\ \mathrm{m}.
Didática: \dfrac{V^{2}}{2g} é a “cabeça cinética” e frequentemente aparece multiplicada por f(L/D) para obter a perda por atrito ao longo do comprimento.

Passo 7

Estimativa das perdas localizadas (minor losses) h_{m}.
  • Para cada elemento localizado usamos h_{i}=K_{i}\,\dfrac{V^{2}}{2g}. Vou usar coeficientes típicos tabulados:
    • Entrada do reservatório para tubulação (borda afiada): K_{\text{entrada}}\approx 0{,}5.
    • Saída da tubulação para reservatório (entrada em tanque grande): K_{\text{saída}}\approx 1{,}0í.
    • Válvula gaveta, totalmente aberta: K_{\text{gaveta}}\approx 0{,}15 (cada uma).
    • Cotovelo de 90^\circ padrão: K_{\text{cot}}\approx 0{,}3 (cada um).
  • Contagem dos elementos (pela figura):
    • Entrada na sucção: 1 elemento ( K=0{,}5).
    • Válvula na sucção: 1 elemento ( K=0{,}15).
    • Válvula na descarga: 1 elemento ( K=0{,}15).
    • Cotovelos: 3 cotovelos ( 3\cdot 0{,}3=0{,}9).
    • Saída na descarga para o tanque: K=1{,}0.
  • Soma dos K:
\sum K = 0{,}5 + 0{,}15 + 0{,}15 + 0{,}9 + 1{,}0 = 2{,}7.
  • Então:
h_{m}=\left(\sum K\right)\frac{V^{2}}{2g}=2{,}7\cdot 0{,}04518\approx 0{,}1220\\ \mathrm{m}.
Didática: perdas localizadas podem, dependendo do caso, somar contribuição relevante. Use tabelas para obter K de válvulas, cotovelos, entradas, saídas etc. Aqui usei valores típicos de referência.

Passo 8

Cálculo da diferença de nível entre superfícies livres ( \Delta z) extraída da figura.
  • Pela figura, o nível do tanquede saída está mais elevado: há uma subida vertical de 5\\ \mathrm{m} da tubulação saindo da bomba até o topo do trecho vertical, depois há um pequeno trecho horizontal 1\\ \mathrm{m} e uma descida de 0{,}5\\ \mathrm{m} até o nível do líquido no tanque receptor; do lado da sucção a superfície do tanque está a 2\\ \mathrm{m} (medida mostrada na figura) — portanto, a diferença de cota entre superfícies livres, conforme interpretação da figura, será tomada como:
\Delta z = 5{,}0 + 0{,}5 - 2{,}0 = 3{,}5\\ \mathrm{m}.
Observação: este valor foi obtido diretamente das medidas indicadas na imagem (peguei os 5\\ \mathrm{m}, 0{,}5\\ \mathrm{m} e 2\\ \mathrm{m} mostrados).

Passo 9

Somar tudo para obter a cabeça total H.
H=\Delta z + h_{f} + h_{m}=3{,}5 + 0{,}2415 + 0{,}1220 \approx 3{,}8635\\ \mathrm{m}.
Didática: a cabeça total que a bomba precisa fornecer é a soma da diferença de cota entre superfícies livres e de todas as perdas (por atrito + localizadas), quando desconsideramos qualquer ganho/queda entre pontos além desses.

Passo 10

Cálculo da potência hidráulica fornecida pela bomba (eficiência 100\%).
  • Fórmula:
P=\rho g Q H.
Substituindo:
P=1050\cdot 9{,}81 \cdot 2{,}0\cdot 10^{-3}\cdot 3{,}8635.
Calcule passo a passo:
\rho g Q =1050\cdot 9{,}81\cdot 0{,}002}=20{,}601\\ \mathrm{(unidades\\ W/m)}\\ (\text{valor base}),
P=20{,}601\cdot 3{,}8635 \approx 79{,}59\\ \mathrm{W}.
Conversão para cavalo-vapor (CV), usando 1\\ \mathrm{CV}=735{,}5\\ \mathrm{W}:
P_{\mathrm{CV}}=\frac{79{,}59}{735{,}5}\approx 0{,}1082\\ \mathrm{CV}.
Didática: potência hidráulica é simplesmente massa por tempo vezes gravidade vezes altura; em vazão volumétrica escrevemos P=\rho g Q H. Se a bomba tivesse eficiência \eta<1 dividiríamos por \eta.

Passo 11

Interpretação final e observações:
  • Resultado obtido com os valores de K típicos e com a rugosidade assumida para aço comercial. Se alguém usar tabelas de K ligeiramente diferentes (por exemplo cotovelos com K maiores) ou outra rugosidade, o valor de f e das perdas localizadas muda um pouco — isso explica por que respostas de referência podem dar algo como 0{,}13\\ \mathrm{CV}. Com os pressupostos adotados aqui o resultado é:
P\approx 79{,}6\\ \mathrm{W}\approx 0{,}108\\ \mathrm{CV}.
  • Incentivo: em prova, organize os dados (comprimentos, números de cotovelos, válvulas) conforme figura, calcule V, \mathrm{Re}, f e depois h_f e h_m. Use tabelas para K e uma fórmula explícita (Swamee–Jain) para f quando precisar evitar iterações.

Resposta

N\approx 0{,}108\\ \mathrm{CV} \approx 79{,}6\\ \mathrm{W}

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