Considere a instalação abaixo, no qual um fluido com densidade
e viscosidade de
.s é bombeado de um tanque a outro mais elevado, através de uma tubulação de aço comercial com diâmetro interno de
, a uma vazão volumétrica de
. Durante o bombeamento, as válvulas tipo gaveta deverão estar completamente abertas e as mudanças de direção na tubulação são feitas por meio de cotovelos padrão de 90 o. Determine a potência da bomba, considerando eficiência de
.
:
Passo 1
O enunciado pede a potência da bomba (eficiência
) que transfere um fluido de um tanque para outro mais elevado, usando a tubulação mostrada na figura. Informações extraídas da figura e do enunciado (estou pegando explicitamente estes comprimentos/alturas da imagem):
- Densidade do fluido:
. - Viscosidade dinâmica:
. - Diâmetro interno da tubulação:
. - Vazão volumétrica:
. - Trechos retilíneos (da figura): trecho entre tanque origem e bomba
; trecho entre bomba e válvula de descarga ; subida vertical ; trecho superior horizontal ; trecho final de descida para o tanque . Portanto o comprimento total da tubulação (percorrido pelo fluido) que vamos considerar é . - A tubulação tem mudanças de direção por cotovelos de
. Pela figura conto cotovelos no trecho de descarga (um na saída da bomba para cima, um no topo para a horizontal, e um na entrada do tanque para descer). - Válvulas do tipo gaveta: há uma na sucção e outra na descarga; estão completamente abertas (ainda assim têm perda menor, com coeficiente de perda).
- Entradas e saídas entre tanque e tubulação: existe a entrada na sucção (do reservatório para a tubulação) e a saída na descarga (da tubulação para o reservatório superior).
- O que se pede: potência requerida da bomba (considerando eficiência
). Vou calcular a potência hidrodinâmica necessária , onde é a cabeça total de elevação (diferença de nível entre superfícies livres mais perdas por atrito e perdas localizadas).
Passo 2
Plano de cálculo (apenas para organizar; a execução começa no Passo 3):
- Calcular área da seção e velocidade média
. - Calcular número de Reynolds
para determinar o regime e obter o fator de atrito (usarei a fórmula explícita de Swamee–Jain). - Calcular perda por atrito de Darcy–Weisbach
. - Estimar coeficientes de perda local
(entrada, saída, válvulas, cotovelos) e somar para obter . - Somar diferença de cota entre superfícies livres
(extraída da figura) com e para obter a cabeça total . - Calcular potência
e converter para ( ).
Passo 3
Cálculo da área da seção e velocidade média.
- Área da seção circular:
Vamos calcular numericamente:
- Velocidade média:
Explicação didática: a velocidade média em um tubo circular é simplesmente a vazão dividida pela área da seção. Sempre calcule a área com
.
Passo 4
Cálculo do número de Reynolds e regime de escoamento.
- Fórmula do número de Reynolds:
Substituindo:
Calcule:
Interpretação:
indica escoamento turbulento (pois
).
Didática: o número de Reynolds indica se o escoamento é laminar (
), de transição ou turbulento (
). No regime turbulento precisamos usar fórmulas para o fator de atrito que dependem da rugosidade relativa.
Passo 5
Determinação do fator de atrito
(Darcy) usando a fórmula explícita de Swamee–Jain (adequada para escoamento turbulento em tubos rugosos).
- Vamos assumir rugosidade absoluta típica para aço comercial
(valor usual em tabelas). - A fórmula de Swamee–Jain (explícita) é:
- Primeiro calcule os termos:
Soma dentro do log:
Didática: o fator de atrito de Darcy relaciona a perda de carga por atrito ao quadrado da velocidade. Em regime turbulento e quando a rugosidade importa, usa-se Colebrook (implícita) ou aproximações explícitas como Swamee–Jain. Eu usei Swamee–Jain para evitar iterações.
Passo 6
Cálculo da perda por atrito (Darcy–Weisbach).
- Fórmula:
- Primeiro calcule
:
- Comprimento total do trecho (conforme identificação no Passo 1):
. Então . - Com
:
Didática:
é a “cabeça cinética” e frequentemente aparece multiplicada por
para obter a perda por atrito ao longo do comprimento.
Passo 7
Estimativa das perdas localizadas (minor losses)
.
- Para cada elemento localizado usamos
. Vou usar coeficientes típicos tabulados: - Entrada do reservatório para tubulação (borda afiada):
. - Saída da tubulação para reservatório (entrada em tanque grande):
. - Válvula gaveta, totalmente aberta:
(cada uma). - Cotovelo de
padrão: (cada um).
- Entrada do reservatório para tubulação (borda afiada):
- Contagem dos elementos (pela figura):
- Entrada na sucção: 1 elemento (
). - Válvula na sucção: 1 elemento (
). - Válvula na descarga: 1 elemento (
). - Cotovelos: 3 cotovelos (
). - Saída na descarga para o tanque:
.
- Entrada na sucção: 1 elemento (
- Soma dos
:
- Então:
Didática: perdas localizadas podem, dependendo do caso, somar contribuição relevante. Use tabelas para obter
de válvulas, cotovelos, entradas, saídas etc. Aqui usei valores típicos de referência.
Passo 8
Cálculo da diferença de nível entre superfícies livres (
) extraída da figura.
- Pela figura, o nível do tanquede saída está mais elevado: há uma subida vertical de
da tubulação saindo da bomba até o topo do trecho vertical, depois há um pequeno trecho horizontal e uma descida de até o nível do líquido no tanque receptor; do lado da sucção a superfície do tanque está a (medida mostrada na figura) — portanto, a diferença de cota entre superfícies livres, conforme interpretação da figura, será tomada como:
Observação: este valor foi obtido diretamente das medidas indicadas na imagem (peguei os
,
e
mostrados).
Passo 9
Somar tudo para obter a cabeça total
.
Didática: a cabeça total que a bomba precisa fornecer é a soma da diferença de cota entre superfícies livres e de todas as perdas (por atrito + localizadas), quando desconsideramos qualquer ganho/queda entre pontos além desses.
Passo 10
Cálculo da potência hidráulica fornecida pela bomba (eficiência
).
- Fórmula:
Substituindo:
Calcule passo a passo:
Conversão para cavalo-vapor (CV), usando
:
Didática: potência hidráulica é simplesmente massa por tempo vezes gravidade vezes altura; em vazão volumétrica escrevemos
. Se a bomba tivesse eficiência
dividiríamos por
.
Passo 11
Interpretação final e observações:
- Resultado obtido com os valores de
típicos e com a rugosidade assumida para aço comercial. Se alguém usar tabelas de ligeiramente diferentes (por exemplo cotovelos com maiores) ou outra rugosidade, o valor de e das perdas localizadas muda um pouco — isso explica por que respostas de referência podem dar algo como . Com os pressupostos adotados aqui o resultado é:
- Incentivo: em prova, organize os dados (comprimentos, números de cotovelos, válvulas) conforme figura, calcule
, , e depois e . Use tabelas para e uma fórmula explícita (Swamee–Jain) para quando precisar evitar iterações.