Água alimenta um reservatório cilíndrico de
de diâmetro por uma tubulação de
de área, a uma velocidade de
, e o deixa com uma vazão de
. Determine a variação do nível de água com o tempo. (
)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Peguei estes valores da figura enviada:
- Diâmetro do reservatório:
. - Área da tubulação de entrada:
. - Velocidade do fluxo na tubulação de entrada:
. - Vazão de saída (dada):
. - A variável que representa a altura do nível é
(altura do líquido no cilindro).
O enunciado pede: determinar a variação do nível de água com o tempo, isto é, encontrar(unidade ).
Passo 2
Entender a relação entre área/velocidade e vazão (fórmula que vamos usar neste passo).
- A vazão volumétrica
que entra por uma tubulação é dada pela área da seção vezes a velocidade média do fluido:
Aqui cada símbolo significa:
-
: vazão volumétrica (unidade ), -
: área da seção do tubo (unidade ), -
: velocidade média do fluido no tubo (unidade ).
Aplicando aos dados de entrada (pegueie da figura):
Passo 3
Calcular numericamente a vazão de entrada.
Interpretação: entram
e saem
. Logo há um déficit volumétrico (sai mais do que entra).
Passo 4
Escrever o balanço de volume no reservatório (princípio de conservação de massa/volume para líquido incompressível).
- A taxa de variação do volume no reservatório é a diferença entre vazão de entrada e vazão de saída:
- O volume do reservatório, sendo um cilindro de base circular, é
onde
é a área da base do cilindro e
é a altura (nível) do líquido.
Passo 5
Relacionar
com
.
- Derivando
em relação ao tempo e lembrando que é constante:
- Substituindo no balanço de volume:
Logo
Aqui
com
.
Passo 6
Calcular a área da base do reservatório numericamente (usei
da figura).
- Raio:
- Área da base:
Se quiser um valor numérico aproximado:
Passo 7
Calcular finalmente
substituindo
,
e
.
- Primeiro a diferença de vazões:
- Então
- Valor numérico aproximado:
Arredondando para duas casas significativas conforme resposta dada:
Passo 8
Interpretação física do sinal negativo e da magnitude.
- O sinal negativo indica que o nível
está diminuindo com o tempo (porque sai mais água do que entra). - Magnitude
significa que, mantendo essas vazões constantes, o nível do reservatório desce metros a cada segundo (o que é rápido — aqui só uma consequência matemática dos números fornecidos).