A água de alimentação de um reator industrial apresenta uma dureza total de 250,0 \mathrm{mg} \mathrm{L}^{-1} de \mathrm{CaCO}_{3}. Para diminuir esta dureza foi adicionado 3,75 \mathrm{~kg} de EDTA
\left(\mathrm{Na}_{2} \mathrm{H}_{2} \mathrm{Y} .2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}\right) em 3000 L desta água a \mathrm{pH}=8\left(\alpha_{\mathrm{Y}}=4,2 \times 10^{-3}\right). Calcule a dureza residual ( \mathrm{mg} \mathrm{L}^{-1} de \mathrm{CaCO}_{3} ) após a adição do EDTA.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a dureza residual, em \mathrm{mg\;L^{-1}} como \mathrm{CaCO_3}, depois de se adicionar EDTA numa certa quantidade de água. Dados fornecidos:
  • Dureza inicial: 250{,}0\\ \mathrm{mg\;L^{-1}} (expressa como \mathrm{CaCO_3}).
  • Volume de água tratado: 3000\\ \mathrm{L}.
  • Massa de EDTA adicionada: 3,75\\ \mathrm{kg} do sal \mathrm{Na_2H_2Y\cdot 2H_2O}.
  • pH: 8.
  • Fração do EDTA na forma completamente desprotonada \mathrm{Y^{4-}} a esse pH: \alpha_{Y}=4{,}2\times 10^{-3}.
O que precisa ser respondido: a dureza residual, em \mathrm{mg\;L^{-1}} como \mathrm{CaCO_3}, após a adição do EDTA.

Passo 2

Entendendo como converter dureza (mg L^{-1} como \mathrm{CaCO_3}) em mols: a dureza em \mathrm{mg\;L^{-1}} como \mathrm{CaCO_3} é uma forma prática de expressar a concentração de cátions como \mathrm{Ca^{2+}}. Para transformar em mols usamos a massa molar de \mathrm{CaCO_3}.
Massa molar:
M(\mathrm{CaCO_3}) = 100{,}086\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
Massa total de \mathrm{CaCO_3} equivalente presente inicialmente no volume V é:
\text{massa inicial} = 250{,}0\\ \frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{L}}\times 3000\\ \mathrm{L}=750000\\ \mathrm{mg}=750{,}000\\ \mathrm{mg}=750{,}000\times10^{-3}\\ \mathrm{g}=750\\ \mathrm{g}.
Portanto o número de mols iniciais (equivalente em \mathrm{CaCO_3}) é
n_{\text{CaCO}_3,\;0}=\frac{750\\ \mathrm{g}}{100{,}086\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}}=7{,}49395\\ \mathrm{mol}.
(para manter clareza, a conta foi feita dividindo 750 por 100{,}086).
Observação prática: cada mol de \mathrm{CaCO_3} equivale a 1 mol de \mathrm{Ca^{2+}} em termos de dureza expressa como \mathrm{CaCO_3}, então podemos dizer que inicialmente há 7{,}49395\\ \mathrm{mol} de “CaCO_3)-equivalente” no tanque.

Passo 3

Calcular quantos mols de EDTA foram adicionados: usar massa molar do sal \mathrm{Na_2H_2Y\cdot 2H_2O}.
Massa molar do sal (disódico, di-hidratado):
M(\mathrm{Na_2H_2Y\cdot 2H_2O})=372{,}238\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
Massa adicionada: 3{,}75\\ \mathrm{kg}=3750\\ \mathrm{g}. Logo os mols totais de EDTA (todas as espécies protonadas somadas) são
n_{\text{EDTA, total}}=\frac{3750\\ \mathrm{g}}{372{,}238\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}}=10{,}0676\\ \mathrm{mol}.
Explicação didática: esse número é a quantidade total, em mols, do sal de EDTA colocado na água. Nem toda essa quantidade está na forma \mathrm{Y^{4-}} que realmente forma complexos com \mathrm{Ca^{2+}}; por causa do pH algumas frações estão protonadas.

Passo 4

Usar a fração \alpha_{Y} para obter quantos mols estão na forma ativa \mathrm{Y^{4-}} capaz de complexar \mathrm{Ca^{2+}}.
Definição: \alpha_{Y} é a fração da quantidade total de EDTA que se encontra na forma \mathrm{Y^{4-}} ao pH dado, ou seja
n_{Y^{4-}}=\alpha_{Y}\times n_{\text{EDTA, total}}.
Substituindo:
n_{Y^{4-}}=(4{,}2\times10^{-3})\times 10{,}0676\\ \mathrm{mol}=0{,}0422839\\ \mathrm{mol}.
Interpretação: só cerca de 0{,}0423\\ \mathrm{mol} do EDTA está na forma que consegue se ligar a \mathrm{Ca^{2+}} instantaneamente àquele pH.

Passo 5

Este é o passo estequiométrico: cada íon \mathrm{Y^{4-}} complexa um íon \mathrm{Ca^{2+}} segundo a reação
\mathrm{Ca^{2+}} + \mathrm{Y^{4-}} \rightarrow \mathrm{CaY^{2-}}.
Assumindo que a constante de formação é grande (caso usual do EDTA) e que toda a fração \mathrm{Y^{4-}} disponível irá complexar \mathrm{Ca^{2+}} até se esgotar um dos reagentes, os mols de \mathrm{Ca^{2+}} complexados são numericamente iguais a n_{Y^{4-}}:
n_{\text{Ca complexado}}=n_{Y^{4-}}=0{,}0422839\\ \mathrm{mol}.

Passo 6

Calcular os mols de \mathrm{Ca} (em equivalentes \mathrm{CaCO_3}) que restam livres após complexação:
n_{\text{restante}}=n_{\text{CaCO}_3,\;0}-n_{\text{Ca complexado}}=7{,}49395-0{,}0422839=7{,}4516661\\ \mathrm{mol}.
Explicando de maneira simples: havia cerca de 7{,}494\\ \mathrm{mol} inicialmente; o EDTA efetivo removeu apenas cerca de 0{,}0423\\ \mathrm{mol}, então sobrou a diferença acima.

Passo 7

Converter os mols restantes para dureza em \mathrm{mg\;L^{-1}} como \mathrm{CaCO_3}.
A massa total de \mathrm{CaCO_3} correspondente aos mols restantes é
\text{massa restante (g)}=n_{\text{restante}}\times M(\mathrm{CaCO_3})=7{,}4516661\times100{,}086\\ \mathrm{g}=745{,}807\\ \mathrm{g}.
Como essa massa está distribuída em 3000\\ \mathrm{L}, a concentração em \mathrm{mg\;L^{-1}} é
\text{dureza residual}=\frac{745{,}807\\ \mathrm{g}}{3000\\ \mathrm{L}}\times1000\\ \frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{g}}=248{,}602\\ \frac{\mathrm{mg}}{\mathrm{L}}.
Arredondando razoavelmente (o enunciado deu os dados com três algarismos significativos), a dureza residual é
\text{dureza residual}\approx 248{,}6\\ \mathrm{mg\;L^{-1}\\ (como\\ CaCO_3)}.

Passo 8

Interpretação curta e encorajamento: o EDTA adicionado, por causa do pH, está quase todo protonado e apenas uma fração muito pequena está na forma \mathrm{Y^{4-}} ativa; por isso a redução de dureza é pequena (de 250{,}0 para cerca de 248{,}6\\ \mathrm{mg\;L^{-1}}). Para obter remoção significativa seria necessário ou ajustar o pH para aumentar \alpha_{Y} (mais \mathrm{Y^{4-}}) ou acrescentar muito mais EDTA.

Resposta

248{,}6 \mathrm{mg\;L^{-1}} como \mathrm{CaCO_3}

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