A água de alimentação de uma caldeira industrial apresenta uma concentração total de 5,40 \mathrm{mg} \mathrm{L}^{-1} de \mathrm{Al}^{3+}, 57,0 \mathrm{mg} \mathrm{L}^{-1} de íons \mathrm{F}^{-}, e 0,002 \mathrm{~mol} \mathrm{~L}^{-1} de EDTA. Calcular a concentração ( \mathrm{mol} \mathrm{L}^{-1} ) de \mathrm{Al}^{3+} na forma livre (sem complexar), em \mathrm{pH} 8,0.
Dados
(\mathrm{Al}-\mathrm{F}): \log \mathrm{K}_{1}=6,11 ; \log \mathrm{K}_{2}=5,01 ; \log \mathrm{K}_{3}=3,88 ; \log \mathrm{K}_{4}=3,00, ; \log \mathrm{K}_{5}=1,4 ; \log \mathrm{K}_{6}=0,4.
(\mathrm{Al}-\mathrm{OH}): \log \mathrm{K}_{1}=9,01 ; \log \mathrm{K}_{2}=9,69 ; \log \mathrm{K}_{3}=8,30 ; \log \mathrm{K}_{4}=6,00
(Al-EDTA): \log \mathrm{K}=16,4 . \alpha_{\mathrm{Y}}=4,2 \times 10^{-3}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos (pegos do enunciado):
    • Concentração total de alumínio: 5{,}40\\ \mathrm{mg\;L^{-1}}.
    • Concentração total de fluoreto: 57{,}0\\ \mathrm{mg\;L^{-1}}.
    • Concentração total de EDTA: 0{,}002\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
    • pH =8{,}0.
    • Constantes de formação (dados como \log K):
      • Al–F: \log K_1=6{,}11,\\ \log K_2=5{,}01,\\ \log K_3=3{,}88,\\ \log K_4=3{,}00,\\ \log K_5=1{,}4,\\ \log K_6=0{,}4.
      • Al–OH: \log K_1=9{,}01,\\ \log K_2=9{,}69,\\ \log K_3=8{,}30,\\ \log K_4=6{,}00.
      • Al–EDTA: \log \beta_{\mathrm{EDTA}}=16{,}4.
    • \alpha_Y=4{,}2\times10^{-3} (fração do EDTA na forma \mathrm{Y}^{4-} disponível para complexar, no pH dado).
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a concentração de \mathrm{Al}^{3+} livre (não complexado) em mol·L^{-1} no pH 8{,}0.
Observações claras (sem resolver ainda):
  • Vou usar o balanço de massa do alumínio: [\mathrm{Al}]_{T} = [\mathrm{Al}^{3+}] + \sum_n [\mathrm{AlF}_n^{(3-n)}] + \sum_m [\mathrm{Al(OH)}_m^{(3-m)}] + [\mathrm{AlY}^{-}].
  • Para expressar as concentrações dos complexos em função de [\mathrm{Al}^{3+}] é útil usar as constantes cumulativas \beta (produto das K passo a passo). Assim: [\mathrm{Al}]_{T} = [\mathrm{Al}^{3+}]\Big(1+\sum_n \beta_{F,n}[F^-]^n + \sum_m \beta_{OH,m}[OH^-]^m + \beta_{EDTA}[Y^{4-}]\Big).
  • A partir daí isolarei [\mathrm{Al}^{3+}].

Passo 2

Converter as concentrações dadas para mol·L^{-1} e calcular [OH^-] e a concentração efetiva de [Y^{4-}] (usando \alpha_Y).
  • Converter Al total:
    • Massa atômica aproximada do Al: M_{\mathrm{Al}}=26{,}98\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
    • [{\mathrm{Al}}]_{T} = \dfrac{5{,}40\times10^{-3}\\ \mathrm{g\;L^{-1}}}{26{,}98\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}}.
    [\mathrm{Al}]_{T} = 2{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
  • Converter F total:
    • Massa atômica do F: M_{F}=19{,}00\\ \mathrm{g\;mol^{-1}}.
    • [F^-]_{T} = \dfrac{57{,}0\times10^{-3}}{19{,}00}=3{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
    • Aqui vou, como aproximação consistente com o enunciado, tomar [F^-]\approx[F^-]_{T}=3{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}. (Justificação: o Al total é pequeno comparado ao F total; a correção por consumo de F será pequena em comparação com as outras grandes constantes — e este é o procedimento padrão.)
  • EDTA disponível como \mathrm{Y}^{4-}:
    • [{\rm EDTA}]_{T}=0{,}002\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
    • A fração de EDTA na forma \mathrm{Y}^{4-} é \alpha_Y=4{,}2\times10^{-3}.
    • Então a concentração inicial aproximada de \mathrm{Y}^{4-} livre é
    [Y^{4-}]\approx \alpha_Y\,[{\rm EDTA}]_{T}=4{,}2\times10^{-3}\times0{,}002=8{,}4\times10^{-6}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
    (Novamente se o metal abocanhar parte do EDTA isso mudaria levemente [Y^{4-}], mas a forma prática aqui é usar \alpha_Y para obter a concentração condicional de ligando livre.)
  • [OH^-] no pH 8{,}0:
    [OH^-]=10^{-(14-pH)}=10^{-6}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.

Passo 3

Explicar e calcular as constantes cumulativas \beta para os complexos Al–F e Al–OH e avaliar a contribuição do complexo com EDTA.
  • Conceito: a constante cumulativa \beta_n para formar \mathrm{AlF}_n é
    \beta_{F,n}=K_1\cdot K_2\cdots K_n,
    e como nos deram \log K_i é prático somar os \log K_i:
    \log \beta_{F,n}=\sum_{i=1}^{n}\log K_i.
    O mesmo vale para as espécies hidroxila \mathrm{Al(OH)}_m.
  • Calcular \beta_{F,n} (usando os \log K do enunciado):
    • \log \beta_{F,1}=6{,}11 \Rightarrow \beta_{F,1}=10^{6{,}11}=1{,}288\times10^{6}.
    • \log \beta_{F,2}=6{,}11+5{,}01=11{,}12 \Rightarrow \beta_{F,2}=10^{11{,}12}=1{,}318\times10^{11}.
    • \log \beta_{F,3}=11{,}12+3{,}88=15{,}00 \Rightarrow \beta_{F,3}=10^{15}=1{,}00\times10^{15}.
    • \log \beta_{F,4}=15{,}00+3{,}00=18{,}00 \Rightarrow \beta_{F,4}=10^{18}=1{,}00\times10^{18}.
    • \log \beta_{F,5}=18{,}00+1{,}4=19{,}40 \Rightarrow \beta_{F,5}=10^{19{,}4}=2{,}512\times10^{19}.
    • \log \beta_{F,6}=19{,}4+0{,}4=19{,}8 \Rightarrow \beta_{F,6}=10^{19{,}8}=6{,}31\times10^{19}.
  • Calcular \beta_{OH,m}:
    • \log \beta_{OH,1}=9{,}01 \Rightarrow \beta_{OH,1}=10^{9{,}01}=1{,}023\times10^{9}.
    • \log \beta_{OH,2}=9{,}01+9{,}69=18{,}70 \Rightarrow \beta_{OH,2}=10^{18{,}70}=5{,}012\times10^{18}.
    • \log \beta_{OH,3}=18{,}70+8{,}30=27{,}00 \Rightarrow \beta_{OH,3}=10^{27}=1{,}00\times10^{27}.
    • \log \beta_{OH,4}=27{,}00+6{,}00=33{,}00 \Rightarrow \beta_{OH,4}=10^{33}=1{,}00\times10^{33}.
  • Para EDTA:
    • \beta_{\mathrm{EDTA}}=10^{16{,}4}=2{,}512\times10^{16}.
    • A contribuição na forma do fator multiplicador no balanço de Al será \beta_{\mathrm{EDTA}}\,[Y^{4-}] (porque [\mathrm{AlY^-}]=\beta_{\mathrm{EDTA}}\,[\mathrm{Al}^{3+}]\,[Y^{4-}]).

Passo 4

Montar a expressão do fator de complexação (denominador) e calcular cada termo numérico.
  • Fórmula geral (já explicada):
    [\mathrm{Al}]_{T} = [\mathrm{Al}^{3+}]\Big(1+\sum_{n=1}^{6}\beta_{F,n}[F^-]^n + \sum_{m=1}^{4}\beta_{OH,m}[OH^-]^m + \beta_{\mathrm{EDTA}}[Y^{4-}]\Big).
    Defino o denominador
    D \equiv 1+\sum_{n=1}^{6}\beta_{F,n}[F^-]^n + \sum_{m=1}^{4}\beta_{OH,m}[OH^-]^m + \beta_{\mathrm{EDTA}}[Y^{4-}],
    e então
    [\mathrm{Al}^{3+}] = \dfrac{[\mathrm{Al}]_{T}}{D}.
  • Calcular os termos um a um (usar as \beta calculadas e as concentrações encontradas no Passo 2).
    Para fluoreto ( [F^-]=3{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{M}):
    \begin{aligned} \beta_{F,1}[F^-] &= 1{,}288\times10^{6}\times3{,}00\times10^{-3}=3{,}864\times10^{3},\\\ \beta_{F,2}[F^-]^2 &= 1{,}318\times10^{11}\times(3{,}00\times10^{-3})^2=1{,}186\times10^{6},\\\ \beta_{F,3}[F^-]^3 &= 1{,}00\times10^{15}\times(3{,}00\times10^{-3})^3=2{,}70\times10^{7},\\\ \beta_{F,4}[F^-]^4 &= 1{,}00\times10^{18}\times(3{,}00\times10^{-3})^4=8{,}10\times10^{7},\\\ \beta_{F,5}[F^-]^5 &= 2{,}512\times10^{19}\times(3{,}00\times10^{-3})^5=6{,}103\times10^{6},\\\ \beta_{F,6}[F^-]^6 &= 6{,}31\times10^{19}\times(3{,}00\times10^{-3})^6=4{,}601\times10^{4}. \end{aligned}
    Soma dos termos Al–F:
    \sum_{n=1}^{6}\beta_{F,n}[F^-]^n \approx 1{,}15336\times10^{8}.
    Para hidroxila ( [OH^-]=1{,}00\times10^{-6}\\ \mathrm{M}):
    \begin{aligned} \beta_{OH,1}[OH^-] &= 1{,}023\times10^{9}\times10^{-6}=1{,}023\times10^{3},\\\ \beta_{OH,2}[OH^-]^2 &= 5{,}012\times10^{18}\times10^{-12}=5{,}012\times10^{6},\\\ \beta_{OH,3}[OH^-]^3 &= 1{,}00\times10^{27}\times10^{-18}=1{,}00\times10^{9},\\\ \beta_{OH,4}[OH^-]^4 &= 1{,}00\times10^{33}\times10^{-24}=1{,}00\times10^{9}. \end{aligned}
    Soma dos termos Al–OH:
    \sum_{m=1}^{4}\beta_{OH,m}[OH^-]^m \approx 2{,}00501\times10^{9}.
    Para EDTA:
    \beta_{\mathrm{EDTA}}[Y^{4-}] = 2{,}512\times10^{16}\times8{,}4\times10^{-6}=2{,}11008\times10^{11}.
  • Agora somar todos para obter D:
    \begin{aligned} D &\approx 1 + 1{,}15336\times10^{8} + 2{,}00501\times10^{9} + 2{,}11008\times10^{11}\\\ &\approx 2{,}13128346\times10^{11}. \end{aligned}
    (Os termos foram somados com atenção às ordens de grandeza. O termo dominante aqui é o associado ao complexo com EDTA, seguido pelo conjunto de hidróxidos; os fluoretos também contribuem, porém em ordem menor.)

Passo 5

Calcular [\mathrm{Al}^{3+}] a partir do balanço de massa e interpretar o resultado.
  • Aplicar a fórmula: [\mathrm{Al}^{3+}] = \dfrac{[\mathrm{Al}]_{T}}{D} = \dfrac{2{,}00\times10^{-4}}{2{,}13128346\times10^{11}}.
  • Fazer a divisão: [\mathrm{Al}^{3+}] \approx 9{,}39\times10^{-16}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}.
Interpretação rápida (didática e amigável): esse valor extremamente baixo significa que, ao pH 8{,}0 e com EDTA disponível (mesmo que a fração \mathrm{Y}^{4-} seja pequena), o alumínio está quase todo complexoado — principalmente pela combinação EDTA (devido à altíssima constante de formação condicional) e também por complexos hidroxila e fluoretos. Logo a fração livre de \mathrm{Al}^{3+} é desprezivelmente pequena.

Resposta

9{,}39\times10^{-16}\\ \mathrm{mol\;L^{-1}}

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