Água é bombeada de um poço cujo nível é constante, estando 20 m abaixo do nível do solo. A água é descarregada a uma vazão de 0,5 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} em um tubo horizontal que se encontra 5 m acima do solo. Admita que a taxa de transferência de calor da água é desprezível durante o escoamento. Calcule a potência elétrica requerida pela bomba, sabendo que sua eficiência de conversão de energia elétrica em mecânica é 100%. Despreza o atrito nos tubos e na bomba.

Passo 1

O enunciado pede a potência elétrica requerida pela bomba nas condições dadas. Dados fornecidos:
Q = 0{,}5\\ \mathrm{m^3/s}
\text{nível da água no poço: }20\\ \mathrm{m\\ abaixo\\ do\\ solo}íáç
\text{tubo de descarga: }5\\ \mathrm{m\\ acima\\ do\\ solo}
A eficiência de conversão elétrica→mecânica da bomba é 100\%. Desprezam-se atrito e transferência de calor.
Objetivo: calcular a potência elétrica que a bomba precisa fornecer.

Passo 2

Vamos entender o que a bomba precisa fazer energeticamente. A água sai de um nível ( z_{\text{in}}) 20 m abaixo do solo e é descarregada num nível ( z_{\text{out}}) 5 m acima do solo, logo a variação de cota (elevação) é
\Delta z = z_{\text{out}} - z_{\text{in}} = 5 - (-20) = 25\\ \mathrm{m}.
Em escoamento estacionário, sem atrito e com superfícies livres abertas à atmosfera, as variações de pressão entre entrada e saída se cancelam (ambas atmosféricas) e, como não nos foram dadas áreas diferentes, assumimos que a variação de energia cinética é desprezível ou que se anula. Assim a energia que a bomba precisa fornecer por unidade de massa é simplesmente a energia potencial gravítica:
\text{energia por unidade de massa} = g\,\Delta z.

Passo 3

Agora transformamos isso em potência. Definições:
\rho = 1000\\ \mathrm{kg/m^3}\quad\text{(massa específica da água)}íá
\dot m = \rho\,Q\quad\text{(vazão mássica)}ãá
A potência hidráulica necessária para elevar a água é a vazão mássica vezes a energia por unidade de massa:
P_{\text{hid}} = \dot m\,g\,\Delta z.
Substituindo \dot m = \rho Q obtemos a fórmula prática
P_{\text{hid}} = \rho\,Q\,g\,\Delta z.
Como a eficiência da bomba é 100\%, a potência elétrica requerida é igual à potência hidráulica:
P_{\text{el}} = P_{\text{hid}}.

Passo 4

Agora calculamos numericamente. Use g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
P_{\text{el}} = \rho\,Q\,g\,\Delta z = 1000\cdot 0{,}5\cdot 9{,}81\cdot 25\\ \mathrm{W}.
Calcule passo a passo:
0{,}5\cdot 9{,}81 = 4{,}905,
4{,}905\cdot 25 = 122{,}625,
1000\cdot 122{,}625 = 122{,}625\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Convertemos para uma unidade prática (kW):
122{,}625\\ \mathrm{W} = 122{,}625\\ \mathrm{kW} \approx 122{,}6\\ \mathrm{kW}.
Fica aí o resultado arredondado com três algarismos significativos.

Resposta

122{,}6\\ \mathrm{kW}

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