Água é bombeada à taxa de
de um reservatório que está 20 m acima de uma bomba para uma descarga livre 35 m acima da bomba. A pressão no lado da admissão da bomba é de 100 kPa e no lado da descarga é de 750 kPa . Todos os tubos são de aço laminado com diâmetro nominal de 2 in . Determine a altura de carga fornecida pela bomba e a perda de carga total entre a bomba e o ponto de descarga livre. Considere a presença dos seguintes acessórios: 2 joelhos
curvas
registro globo aberta e o comprimento total da tubulação de 200 m .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (peguei todos estes dados do enunciado).
Dados fornecidos:
- Vazão volumétrica
. - O reservatório de sucção está
acima da bomba (informação de posição do reservatório). - A descarga livre está
acima da bomba. - Pressão no lado de admissão (entrada) da bomba
. - Pressão no lado de descarga (saída) da bomba
. - Tubulação de aço laminado com diâmetro nominal de
. Vou tomar esse diâmetro nominal como (observação: em muitos problemas didáticos usa-se o valor nominal como diâmetro interno; se a peça do professor usar outro valor interno, os cálculos mudam). - Comprimento total da tubulação
. - Acessórios:
joelhos de , curvas de e registro globo totalmente aberto. - Propriedades da água (assumidas, valores usuais): densidade
e aceleração da gravidade . - Pressão atmosférica (para descarga livre): vou usar
em coerência com o valor usado no enunciado (se quiser usar a diferença é pequena).
O enunciado pede:
- Determinar a altura de carga fornecida pela bomba (altura de elevação em metros equivalente à energia fornecida pela bomba).
- Determinar a perda de carga total entre a bomba e o ponto de descarga livre (perdas por atrito + acessórios expressas em metros de coluna de água).
Observação importante antes de calcular: existe uma forma direta e simples de obter a altura de carga fornecida pela bomba usando a diferença de pressões entre saída e entrada da bomba (transformando pressão em metros de coluna de água). Em seguida, podemos obter a perda de carga total entre a bomba e a saída livre usando a equação de energia entre a saída da bomba e o ponto de descarga livre. Depois eu mostro como estimar perdas por atrito (Darcy–Weisbach) e perdas locais (K) com os acessórios dados — isso é pedagógico e útil para entender a composição das perdas.
Passo 2
Conceito e fórmula para calcular a altura de carga fornecida pela bomba (explicação didática).
- A “altura de carga fornecida pela bomba” (ou head fornecida pela bomba),
, é a energia por unidade de peso adicionada ao fluido pela bomba. Se conhecemos a pressão no lado de descarga da bomba e a pressão no lado de sucção , e se a velocidade média nas seções de entrada e saída é (praticamente) a mesma e as duas seções estão aproximadamente na mesma elevação do corpo da bomba, a contribuição das velocidades e elevações internas da bomba se cancelam. Então a parte principal da energia adicionada é a diferença de pressão dividida por :
- Explicando cada termo:
-
e são pressões absolutas na saída e na entrada da bomba (Pa). -
é a densidade do fluido ( ). -
é a aceleração da gravidade ( ). - A divisão
dá metros de coluna de fluido (m), que é a unidade de “head”.
-
Agora calculamos substituindo os valores dados:
Logo
Faço a conta passo a passo:
Interpretação: a bomba está adicionando o equivalente a cerca de
de coluna de água entre sua entrada e sua saída.
Passo 3
Determinação da perda de carga total entre a bomba e o ponto de descarga livre (uso da equação de energia entre saída da bomba e o ponto de descarga open to atmosphere).
- Considere o trecho entre a saída da bomba (ponto justo após a bomba onde
foi dado) e o ponto de descarga livre (aberto à atmosfera, à cota acima da bomba). Aplicando a forma integrada da equação de energia entre a saída da bomba (seção 2) e a descarga livre (seção 3), e isolando as perdas :
onde
,
(altitude da descarga), e
é a elevação do ponto na saída da bomba (tomamos
como referência da bomba). A velocidade no trecho de saída e na seção de descarga é a mesma (
), então os termos de velocidade se cancelam. Rearranjando para
:
Como
e
:
Usando
e
(coerente com o enunciado):
Portanto
Interpretação física clara: da energia fornecida pela bomba (66,28 m de head) parte é usada para elevar o fluido até os
de altura da descarga; a diferença (≈31,28 m) é dissipada como perdas por atrito e em acessórios no trecho entre a bomba e a descarga livre.
Até aqui obtivemos as duas quantidades principais pedidas (a cabeça fornecida pela bomba e a perda total entre bomba e descarga).
Passo 4
Agora vou ensinar como estimar a composição dessas perdas (fricção + perdas locais) usando o método padrão — útil para que você saiba resolver semelhantes na prova. Vou calcular as perdas de atrito por Darcy–Weisbach e as perdas locais por coeficientes
dos acessórios e demonstrar o procedimento passo a passo. OBS: com o diâmetro nominal de
e a vazão dada os números ficarão muito grandes; isso mostra também como checar coerência entre dados.
- Área e velocidade média no tubo:
Com
:
Comentário didático: essa velocidade é extremamente alta para tubulação de água (típicos valores de projeto ficam entre 0,6 e 3 m/s). Isso já indica que com
e
algo não é usual (ou seja, normalmente o diâmetro real deveria ser muito maior para essa vazão).
- Número de Reynolds e fator de atrito:
assumindo viscosidade cinemática da água
:
logo escoamento fortemente turbulento.
Para o fator de atrito
usamos a fórmula aproximada de Swamee–Jain:
onde
é a rugosidade absoluta do aço laminado (tomamos
como valor típico). Calculando a rugosidade relativa:
Substituindo e calculando (passo a passo) obtém-se aproximadamente
- Perda de carga por atrito (Darcy–Weisbach):
- Primeiro calcule
:
- Razão
. - Assim
Comentário: esse valor é absurdamente grande (muitas dezenas de milhares de metros), muito maior do que a perda total que deduzimos do balanço de energia (
). Isso confirma que com
e
os números do enunciado seriam contraditórios: a fricção calculada exigiria muito mais head do que a bomba fornece.
- Perdas locais (acessórios): usamos coeficientes
típicos (valores tabulados). Valores típicos usados em cálculo de engenharia (apenas referência; em prova usar tabela dada ou valores comuns) — eu tomo valores representativos:
- Joelho de
(curto raio): (se for de raio longo pode ser ). - Curva de
(raio longo): . - Registro globo (aberto):
(válvula globo tem perda alta mesmo aberta).
Vou usar uma escolha conservadora para ilustrar (poderia ser diferente se a tabela do professor der outros números). Assumindo joelhos curtos com
para os dois e curvas longas com
para as outras duas:
Perda local total:
Observação: mesmo só pelas perdas locais (com estas escolhas) já obtivemos milhares de metros se fosse mantida a velocidade calculada; aqui o número deu
porque usei as constantes e a velocidade alta deu 775 m para
; repare que 12,2×775 ≈ 9.455 m — é grande, mas relativamente menor que a perda por atrito calculada anteriormente.
- Perda total estimada por somatório:
Comparação com o valor obtido pelo balanço de energia (Passo 3): o balanço deu perdas totais entre bomba e descarga
. A estimativa por Darcy+K com
deu algo da ordem de
(ainda maior) — ou, usando outras escolhas de
ou f, o resultado do atrito poderia ser dezenas de milhares de metros (dependendo da interpretação dos joelhos curtos/longos). Em qualquer caso a conclusão é que com o diâmetro nominal de
e a vazão dada o sistema não é consistente: ou o diâmetro real é bem maior, ou a vazão é bem menor.
Passo 5
Como verificar coerência e estimar um diâmetro mais razoável (dica prática para a prova).
- Em projetos, procura-se velocidades da ordem de
a . Tomando uma velocidade representativa e a mesma vazão podemos estimar um diâmetro necessário:
- Com
a perda por atrito e por acessórios fica bem menor (ex.: com , ; ; com a perda por atrito ; perdas locais ; total — muito mais coerente com uma bomba que fornece de head).)
Conclusão didática: ao estudar para prova, sempre verifique ordem de grandeza de velocidade com
. Se obtiver velocidades muito grandes (centenas de m/s) algo está errado com o diâmetro ou com a vazão. Esse tipo de checagem rápida evita erro de interpretação dos dados.
Resposta
Altura de carga fornecida pela bomba:
Perda de carga total entre a bomba e o ponto de descarga livre:
Perda de carga total entre a bomba e o ponto de descarga livre: