Água é bombeada a uma vazão de 0,06 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de um reservatório A que está a 6 m acima de uma bomba para descarga livre num reservatório a 27 m acima da bomba. Todos os tubos são novos e fabricados em aço comercial com 152 mm de diâmetro. Determine:
(A) A perda de carga total entre o bocal de descarga da bomba e a seção de descarga livre no reservatório;
(B) A altura de carga a ser suprida pela bomba;
(C) A queda de pressão entre o bocal de descarga da bomba e a seção de descarga livre no reservatório;
(D) A potência mecânica teórica fornecida a bomba;

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
Dados fornecidos:
  • Vazão volumétrica: \,Q=0{,}06\\ \mathrm{m^{3}/s}.
  • Altitude do reservatório de sucção em relação à bomba: \,z_{\text{A}}=6\\ \mathrm{m} acima da bomba.
  • Altitude do reservatório de descarga em relação à bomba: \,z_{\text{B}}=27\\ \mathrm{m} acima da bomba.
  • Tubos novos de aço comercial com diâmetro: \,D=152\\ \mathrm{mm}=0{,}152\\ \mathrm{m}.
  • Não foram fornecidos comprimentos dos trechos de tubo ( L) nem coeficientes de perdas localizadas ( K) nem arranjos de conexões (cotovelos, válvulas, entradas, saídas etc.). Esses dados são necessários para calcular perdas por atrito e por acessórios numericamente.
O enunciado pede:
(A) A perda de carga total entre o bocal de descarga da bomba e a seção de descarga livre no reservatório.
(B) A altura de carga a ser suprida pela bomba (head que a bomba precisa fornecer).
(C) A queda de pressão entre o bocal de descarga da bomba e a seção de descarga livre no reservatório.
(D) A potência mecânica teórica fornecida à bomba.
Observação importante (sem resolver ainda): para obter valores numéricos exatos de (A), (B), (C) e (D) é necessário conhecer o comprimento(es) do(s) trecho(s) de tubulação e os coeficientes K das peças. Não posso adivinhar esses valores. Vou, portanto:
  • calcular todas as quantidades que podem ser obtidas apenas com os dados fornecidos (velocidade, número de Reynolds, fator de atrito aproximado para o material indicado);
  • apresentar as fórmulas gerais e uma expressão numérica em função de L e K para cada item pedido, de modo que você saiba exatamente como calcular o número final assim que tiver os comprimentos e K;
  • explicar passo a passo a teoria (fórmulas e conceitos) para você conseguir aplicar na prova.

Passo 2

Calcular área da seção e a velocidade média no tubo — etapa básica e necessária para tudo:
  • Área da seção interna:
A=\frac{\pi D^{2}}{4}=\frac{\pi(0{,}152)^{2}}{4}=0{,}018135\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Velocidade média:
v=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}06}{0{,}018135}=3{,}31\\ \mathrm{m/s}\quad(\text{aprox.})
Explicação didática: A área é a base para encontrar a velocidade, porque vazão é área vezes velocidade média. Na prova, calcule A com atenção ao diâmetro e depois divida a vazão.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds para determinar o regime de escoamento (laminar/turbulento):
  • Usarei para a água à temperatura ambiente a viscosidade cinemática aproximada \nu=1{,}003\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
\mathrm{Re}=\frac{vD}{\nu}=\frac{3{,}31\times0{,}152}{1{,}003\times10^{-6}}\approx5{,}01\times10^{5}.
Interpretação: \mathrm{Re}\gg4000 → escoamento totalmente turbulento. Isso determina que o fator de atrito depende de \mathrm{Re} e da rugosidade relativa \varepsilon/D.

Passo 4

Determinar rugosidade relativa e estimar o fator de atrito f.
  • Para aço comercial novo costuma-se usar rugosidade absoluta aproximada \varepsilon\approx0{,}046\\ \mathrm{mm}=4{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
  • Rugosidade relativa:
\frac{\varepsilon}{D}=\frac{4{,}6\times10^{-5}}{0{,}152}=3{,}03\times10^{-4}.
Explicação didática do fator de atrito:
  • Em tubos turbulentos usa-se a equação de Colebrook (implícita) ou fórmulas explícitas aproximadas como Swamee–Jain para obter f.
  • A fórmula de Swamee–Jain (explícita) é prática para prova:
f=\frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^{2}}.
Substituindo os números:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}\approx8{,}18\times10^{-5},\qquad \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\approx4{,}28\times10^{-5}.
\Rightarrow f\approx0{,}01639.
Comentário: esse f é um valor típico para tubo de aço e escoamento nessa velocidade; na prova você pode justificar o uso de Swamee–Jain ou consultar o gráfico de Moody.

Passo 5

Calcular a cabeça de velocidade (velocity head) e a perda por atrito por metro — isso é útil porque a perda total será igual a perda por metro vezes o comprimento.
  • Cabeça de velocidade:
\frac{v^{2}}{2g}=\frac{(3{,}31)^{2}}{2\times9{,}81}=0{,}5579\\ \mathrm{m}\quad(\text{aprox.}).
Explicação: esse termo aparece em Darcy–Weisbach e em Bernoulli; é a “cota energética” associada à velocidade.
  • Perda por atrito (Darcy–Weisbach) por metro de tubo:
h_{f} = f\frac{L}{D}\frac{v^{2}}{2g}\quad\Rightarrow\quad \frac{h_{f}}{L}= \left(\frac{f}{D}\right)\frac{v^{2}}{2g}.
Numérico:
\frac{h_{f}}{L}=\frac{0{,}01639}{0{,}152}\times0{,}5579\approx0{,}06017\\ \mathrm{m\\ de\\ perda\\ por\\ metro}.
Interpretação: aproximadamente 0{,}0602\\ \mathrm{m} de perda por metro (6,02 cm/m). Então se o trecho tivesse 100 m, a perda por atrito seria 6{,}02\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Incluir perdas localizadas (peças, entradas, saídas). A perda total num trecho é soma da perda de atrito mais perdas localizadas:
h_{\text{loss}}=f\frac{L}{D}\frac{v^{2}}{2g}+\sum K\cdot\frac{v^{2}}{2g}.
  • Aqui \sum K é a soma dos coeficientes de perda das peças do trecho (entradas, cotovelos, válvulas, flange, saída, etc.).
  • Com os valores numéricos já encontrados:
h_{\text{loss}}=0{,}06017\;L + 0{,}5579\;\sum K\quad(\text{metros}),
onde L é o comprimento do trecho em metros e \sum K adimensional. Observação: a expressão acima usa L no mesmo trecho para o qual calculamos f (mesmo diâmetro e mesma rugosidade).
Comentário didático: este é o resultado prático — com L e \sum K em mãos você já obtém a perda de carga total num trecho.

Passo 7

Resposta a (A) — perda de carga entre o bocal de descarga da bomba e a superfície livre do reservatório de descarga.
  • Fórmula geral (por trecho de descarga, como pedem):
\boxed{\,h_{\text{(A)}}=f\frac{L_{d}}{D}\frac{v^{2}}{2g}+K_{d}\frac{v^{2}}{2g}\,}
  • Substituindo os valores calculados de f e \dfrac{v^{2}}{2g}:
\boxed{\,h_{\text{(A)}}=0{,}06017\,L_{d}+0{,}5579\,K_{d}\quad(\mathrm{m})\,}
onde L_{d} é o comprimento do trecho entre o bocal da bomba e a superfície do reservatório (m) e K_{d} é a soma dos coeficientes das perdas localizadas nesse trecho. Observação: não posso dar um número final sem L_{d} e K_{d}.

Passo 8

Resposta a (B) — altura de carga a ser suprida pela bomba (carga total ou Total Dynamic Head, TDH).
  • Regra prática (reservatórios com superfície livre): se as superfícies livre de sucção e descarga estão abertas à atmosfera e suas áreas são grandes (velocidade negligenciável nas superfícies), a bomba precisa vencer a diferença de cota mais todas as perdas no sistema (sucção + descarga):
\boxed{\,H_{\text{bomba}}=z_{B}-z_{A}+h_{\text{perdas, sucção}}+h_{\text{perdas, descarga}}\,}çã
  • Se toda a tubulação tem o mesmo diâmetro e mesma rugosidade, com comprimento total L_{\text{tot}}=L_{s}+L_{d} e K_{\text{tot}}=\sum K (sucção + descarga), usando os números calculados:
\boxed{\,H_{\text{bomba}}=21{,}0 + 0{,}06017\,L_{\text{tot}} + 0{,}5579\,K_{\text{tot}}\quad(\mathrm{m})\,}
onde 21{,}0\\ \mathrm{m}=z_{B}-z_{A}=27-6. Explicação: a bomba deve levantar os 21\\ \mathrm{m} mais compensar as perdas de atrito e localizadas ao longo da tubulação. Novamente: falta L_{\text{tot}} e K_{\text{tot}} para avaliar numericamente.

Passo 9

Resposta a (C) — queda de pressão entre o bocal de descarga da bomba e a seção de descarga livre no reservatório.
Usando Bernoulli entre o bocal (ponto 1) e a superfície livre do reservatório (ponto 2), incluindo perdas:
\frac{p_{1}}{\rho g}+z_{1}+\frac{v_{1}^{2}}{2g}=\frac{p_{2}}{\rho g}+z_{2}+\frac{v_{2}^{2}}{2g}+h_{\text{loss}}.
Se a superfície do reservatório está à pressão atmosférica ( p_{2}=p_{\text{atm}}) e tem velocidade desprezível ( v_{2}\approx0), então a diferença de pressão entre o bocal e a superfície é:
\boxed{\,p_{1}-p_{\text{atm}}=\rho g\left(z_{2}-z_{1}+h_{\text{loss}}-\frac{v_{1}^{2}}{2g}\right)\,}.
Tomando z_{1} como a cota do bocal (por exemplo 0 se a bomba está na referência) e substituindo \dfrac{v_{1}^{2}}{2g}=0{,}5579\\ \mathrm{m}:
\boxed{\,p_{1}-p_{\text{atm}}=\rho g\left( (z_{2}-z_{1}) + h_{\text{loss}} - 0{,}5579\right)\,}
ou, se quiser em função de L_{d} e K_{d} usando o h_{\text{loss}} do passo 7:
\boxed{\,p_{1}-p_{\text{atm}}=1000\cdot9{,}81\left(z_{2}-z_{1}+0{,}06017\,L_{d}+0{,}5579\,K_{d}-0{,}5579\right)\\ \mathrm{Pa}\,}.
Observação: sem L_{d} e K_{d} não dá para um valor numérico. A interpretação física: a pressão no bocal precisa ser alta o suficiente para empurrar a água (elevar a coluna) e vencer as perdas; a fórmula acima dá a diferença de pressão em Pa.

Passo 10

Resposta a (D) — potência mecânica teórica fornecida à bomba.
  • Fórmula fundamental:
P=\rho g Q H_{\text{bomba}}.
  • Calculando o fator \rho g Q com \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}} e Q=0{,}06\\ \mathrm{m^{3}/s}:
\rho g Q=1000\times9{,}81\times0{,}06=588{,}6\\ \mathrm{W/(m\\ de\\ carga)}.
Portanto:
\boxed{\,P_{\text{teórica}}=588{,}6\;H_{\text{bomba}}\quad(\mathrm{W})\,}ó
onde H_{\text{bomba}} está em metros e é dado na forma do passo 8. Substituindo a expressão de H_{\text{bomba}}:
\boxed{\,P_{\text{teórica}}=588{,}6\left(21{,}0 + 0{,}06017\,L_{\text{tot}} + 0{,}5579\,K_{\text{tot}}\right)\\ \mathrm{W}.}ó
Comentário final didático: assim que você tiver os comprimentos das tubulações ( L_{s}, L_{d}) e a lista de peças com seus coeficientes K, basta:
  1. somar os L e K apropriados;
  2. usar as expressões numéricas que coloquei (por exemplo h_{\text{loss}}=0{,}06017\,L+0{,}5579\,\sum K);
  3. calcular H_{\text{bomba}} e multiplicar por 588{,}6 para obter a potência teórica em watts.
Se quiser, eu já calculo um exemplo numérico (por exemplo assumindo comprimentos e alguns K típicos) para você ver os números finais — isso pode ajudar a visualizar magnitudes típicas. Quer que eu faça isso com um conjunto hipotético de comprimentos e peças?

Resposta

(A) h_{\text{perda, descarga}}=0{,}06017\,L_{d}+0{,}5579\,K_{d}\\ \mathrm{m}.
(B) H_{\text{bomba}}=21{,}0 + 0{,}06017\,L_{\text{tot}} + 0{,}5579\,K_{\text{tot}}\\ \mathrm{m}.
(C) p_{\text{bocal}}-p_{\text{atm}}=\rho g\!\left(z_{2}-z_{1}+0{,}06017\,L_{d}+0{,}5579\,K_{d}-0{,}5579\right)\\ \mathrm{Pa}.
(D) P_{\text{teórica}}=588{,}6\left(21{,}0 + 0{,}06017\,L_{\text{tot}} + 0{,}5579\,K_{\text{tot}}\right)\\ \mathrm{W}.ó

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