Água é bombeada a uma vazão de 0,06 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} de um reservatório A que está a 6 m acima de uma bomba para descarga livre num reservatório a 27 m acima da bomba. Todos os tubos são novos e fabricados em aço comercial com 152 mm de diâmetro. Determine:
(A) A perda de carga total entre o bocal de descarga da bomba e a seção de descarga livre no reservatório;
(B) A queda de pressão entre o bocal de descarga da bomba e a seção de descarga livre no reservatório;
(C) A altura de carga a ser suprida pela bomba;
(D) A potência mecânica teórica fornecida a bomba;

Passo 1

O enunciado e o que ele pede (tudo que temos e as perguntas claramente separadas):
  • Dados fornecidos:
    • Vazão: Q = 0,06\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
    • Reservatório de sucção (A) a 6\\ \mathrm{m} acima da bomba.
    • Reservatório de descarga a 27\\ \mathrm{m} acima da bomba.
    • Todos os tubos: aço comercial, diâmetro D = 152\\ \mathrm{mm} = 0,152\\ \mathrm{m}.
  • Perguntas:
    (A) Determinar a perda de carga total entre o bocal de descarga da bomba e a seção de descarga livre no reservatório (ou seja, perdas na tubulação do lado de descarga).
    (B) Determinar a queda de pressão entre o bocal de descarga da bomba e a seção de descarga livre no reservatório (associada à perda de carga do item A).
    (C) Determinar a altura de carga (head) que a bomba deve suprir para levar água do reservatório A ao reservatório de descarga.
    (D) Determinar a potência mecânica teórica fornecida pela bomba (potência hidráulica entregue ao fluido).
Observações que vou assumir (não pedidas explicitamente pelo enunciado, mas necessárias):
  • Considero água com massa específica \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m}^3 e viscosidade cinemática \nu = 1{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s} (condições padrão ~20 °C).
  • Para aço comercial novo tomo rugosidade absoluta \varepsilon = 4{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m} (valor comum em tabelas).
  • Não há informações sobre perdas locais (válvulas, curvas, bocais), então vou assumir que só existem perdas por atrito ao longo dos comprimentos verticais: comprimento do trecho de descarga = 27\\ \mathrm{m} (do bocal da bomba até a superfície do reservatório de descarga) e, quando necessário para calcular a carga da bomba, também uso o trecho de sucção igual a 6\\ \mathrm{m} (do reservatório A até a bomba). Se o enunciado tivesse dados de comprimento real de tubulação ou de acessórios, incluiríamos perdas locais.
  • Usarei a equação de Darcy–Weisbach para perdas por atrito e a fórmula explícita de Swamee–Jain para obter o fator de atrito f (evita iteração da Colebrook).

Passo 2

Primeiro: calcular velocidade média no tubo e a área da seção, pois tudo depende disso.
  • Área da seção do tubo:
A = \frac{\pi D^{2}}{4}.
  • Velocidade média:
V = \frac{Q}{A}.
Vamos calcular numericamente passo a passo.
Cálculo:
D = 0,152\\ \mathrm{m}
A = \frac{\pi(0,152)^{2}}{4} \approx 0{,}01814\\ \mathrm{m}^2
V = \frac{0,06}{0{,}01814} \approx 3{,}308\\ \mathrm{m/s}.
Explicação didática rápida: a área da seção de um tubo circular é \pi D^{2}/4. Dividindo a vazão volumétrica Q por A obtemos a velocidade média do fluido no tubo. Essas são as primeiras grandezas que precisamos para Reynolds, energia cinética e perdas.

Passo 3

Calcular o número de Reynolds para verificar o regime de escoamento (laminar/turbulento) e justificar o método para obter f.
  • Fórmula:
\mathrm{Re} = \frac{V D}{\nu}.
Substituindo valores:
\mathrm{Re} = \frac{3{,}3077\cdot 0{,}152}{1{,}0\times10^{-6}} \approx 5{,}03\times10^{5}.
Interpretação: \mathrm{Re}\sim5\times10^{5} → escoamento claramente turbulento. Em escoamento turbulento em tubos precisamos de um fator de atrito f que depende de \mathrm{Re} e da rugosidade relativa \varepsilon/D.
Calcular rugosidade relativa:
\frac{\varepsilon}{D} = \frac{4{,}5\times10^{-5}}{0{,}152} \approx 2{,}96\times10^{-4}.

Passo 4

Obter o fator de atrito f. Vou usar a fórmula explícita de Swamee–Jain (boa para escoamento turbulento e precisa para engenharia):
f = \frac{0{,}25}{\left[\log_{10}\!\left(\frac{\varepsilon}{3{,}7D} + \frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}}\right)\right]^2}.
Agora calculo os termos intermediários:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D} = \frac{4{,}5\times10^{-5}}{3{,}7\cdot0{,}152} \approx 8{,}00\times10^{-5},
\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx \frac{5{,}74}{(5{,}03\times10^{5})^{0{,}9}} \approx 4{,}25\times10^{-5}.
Somando:
\frac{\varepsilon}{3{,}7D}+\frac{5{,}74}{\mathrm{Re}^{0{,}9}} \approx 1{,}225\times10^{-4}.
Tomando \log_{10} e aplicando a fórmula:
\log_{10}(1{,}225\times10^{-4}) \approx -3{,}9119,
f \approx \frac{0{,}25}{(-3{,}9119)^2} \approx 0{,}01633.
Interpretação: f\approx0{,}0163 é um valor típico para escoamentos turbulentos em tubos lisos/comercial com essas condições.

Passo 5

Calcular a perda de carga por atrito no trecho de descarga (do bocal da bomba até a superfície livre do reservatório de descarga).
A equação Darcy–Weisbach:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^{2}}{2g}.
  • Para o trecho de descarga tomo L_{\text{desc}} = 27\\ \mathrm{m} (distância vertical do bocal da bomba até a superfície do reservatório de descarga — estou assumindo que esse é o comprimento do trecho relevante).
  • Já calculamos V, f e D. Também g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s}^2.
Termos intermediários:
\frac{L}{D} = \frac{27}{0{,}152} \approx 177{,}63,
\frac{V^{2}}{2g} = \frac{(3{,}3077)^{2}}{2\cdot9{,}81} \approx 0{,}558.
Agora:
h_{f,\text{desc}} = 0{,}01633 \times 177{,}63 \times 0{,}558 \approx 1{,}62\\ \mathrm{m}.
Portanto a perda de carga total no trecho de descarga (entre o bocal da bomba e a superfície do reservatório de descarga) é aproximadamente 1{,}62\\ \mathrm{m} — isto responde o item (A), sob a hipótese de comprimento igual a 27\\ \mathrm{m} e sem considerar locais.

Passo 6

Calcular a queda de pressão associada a essa perda de carga do item (A).
Relação entre perda de carga em altura e pressão:
\Delta p = \rho g h_f.
Usando \rho = 1000\\ \mathrm{kg/m}^3, g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s}^2, h_f = 1{,}6196\\ \mathrm{m} (valor mais preciso da etapa anterior):
\Delta p = 1000 \times 9{,}81 \times 1{,}62 \approx 1{,}59\times10^{4}\\ \mathrm{Pa} \approx 15{,}9\\ \mathrm{kPa}.
Isso responde o item (B): a queda de pressão entre o bocal de descarga e a superfície livre do reservatório é cerca de 15{,}9\\ \mathrm{kPa}.

Passo 7

Calcular a altura de carga que a bomba deve suprir (item C). Aqui precisamos considerar o caminho completo do fluido da superfície do reservatório de sucção (A) até a superfície do reservatório de descarga:
Fórmula prática (entre superfícies livres, pressões atmosféricas iguais e velocidades nas superfícies ≈ 0):
H_{\text{bomba}} = (z_2 - z_1) + h_{f,\text{suc}} + h_{f,\text{desc}},
onde z_2 - z_1 é a diferença de cota entre superfície de descarga e superfície de sucção. Neste caso z_2 - z_1 = 27 - 6 = 21\\ \mathrm{m}.
Já temos h_{f,\text{desc}} \approx 1{,}62\\ \mathrm{m}. Falta h_{f,\text{suc}} no trecho de sucção (do reservatório A até a bomba). Tomando o comprimento do trecho de sucção igual a 6\\ \mathrm{m} (diferença de cota) e assumindo mesmo diâmetro, mesma vazão e mesmo f, aplicamos Darcy–Weisbach:
\frac{L_{\text{suc}}}{D} = \frac{6}{0{,}152} \approx 39{,}48,
h_{f,\text{suc}} = f\,\frac{L_{\text{suc}}}{D}\,\frac{V^{2}}{2g} =0{,}01633 \times 39{,}48 \times 0{,}558 \approx 0{,}36\\ \mathrm{m}.
Então:
H_{\text{bomba}} = 21 + 0{,}36 + 1{,}62 \approx 22{,}98\\ \mathrm{m}.
Explicação: a bomba precisa vencer a diferença de elevação (21 m) e as perdas por atrito em sucção e descarga. Não somei eventuais perdas locais (entrada, curvas, válvulas) porque não foram fornecidas; se existirem, devem ser adicionadas como alturas equivalentes h_k = K\cdot V^{2}/(2g).

Passo 8

Calcular a potência mecânica teórica fornecida à bomba (potência hidráulica), item (D). Fórmula:
P = \rho g Q H_{\text{bomba}}.
Substituindo:
P = 1000 \times 9{,}81 \times 0{,}06 \times 22{,}98 \approx 13{,}53\times10^{3}\\ \mathrm{W} \approx 13{,}53\\ \mathrm{kW}.
Interpretação: esta é a potência teórica (hidráulica) fornecida ao fluido pela bomba. A potência mecânica que a bomba precisa receber do motor será maior porque há rendimentos mecânicos e hidráulicos reais (<100%), mas o enunciado pede a potência teórica, então usamos essa expressão.

Resposta

(A) h_{f,\text{desc}} \approx 1{,}62\\ \mathrm{m}
(B) \Delta p \approx 1{,}59\times10^{4}\\ \mathrm{Pa} (ou 15{,}9\\ \mathrm{kPa})
(C) H_{\text{bomba}} \approx 22{,}98\\ \mathrm{m}
(D) P \approx 13{,}53\\ \mathrm{kW}

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