Água é bombeada a uma vazão de
de um reservatório A que está a 6 m acima de uma bomba para descarga livre num reservatório a 27 m acima da bomba. Todos os tubos são novos e fabricados em aço comercial com 152 mm de diâmetro. Determine:
(A) A perda de carga total entre o bocal de descarga da bomba e a seção de descarga livre no reservatório;
(B) A queda de pressão entre o bocal de descarga da bomba e a seção de descarga livre no reservatório;
(C) A altura de carga a ser suprida pela bomba;
(D) A potência mecânica teórica fornecida a bomba;
(A) A perda de carga total entre o bocal de descarga da bomba e a seção de descarga livre no reservatório;
(B) A queda de pressão entre o bocal de descarga da bomba e a seção de descarga livre no reservatório;
(C) A altura de carga a ser suprida pela bomba;
(D) A potência mecânica teórica fornecida a bomba;
Passo 1
O enunciado e o que ele pede (tudo que temos e as perguntas claramente separadas):
- Dados fornecidos:
- Vazão:
. - Reservatório de sucção (A) a
acima da bomba. - Reservatório de descarga a
acima da bomba. - Todos os tubos: aço comercial, diâmetro
.
- Vazão:
- Perguntas:
(A) Determinar a perda de carga total entre o bocal de descarga da bomba e a seção de descarga livre no reservatório (ou seja, perdas na tubulação do lado de descarga).
(B) Determinar a queda de pressão entre o bocal de descarga da bomba e a seção de descarga livre no reservatório (associada à perda de carga do item A).
(C) Determinar a altura de carga (head) que a bomba deve suprir para levar água do reservatório A ao reservatório de descarga.
(D) Determinar a potência mecânica teórica fornecida pela bomba (potência hidráulica entregue ao fluido).
Observações que vou assumir (não pedidas explicitamente pelo enunciado, mas necessárias):
- Considero água com massa específica
e viscosidade cinemática (condições padrão ~20 °C). - Para aço comercial novo tomo rugosidade absoluta
(valor comum em tabelas). - Não há informações sobre perdas locais (válvulas, curvas, bocais), então vou assumir que só existem perdas por atrito ao longo dos comprimentos verticais: comprimento do trecho de descarga =
(do bocal da bomba até a superfície do reservatório de descarga) e, quando necessário para calcular a carga da bomba, também uso o trecho de sucção igual a (do reservatório A até a bomba). Se o enunciado tivesse dados de comprimento real de tubulação ou de acessórios, incluiríamos perdas locais. - Usarei a equação de Darcy–Weisbach para perdas por atrito e a fórmula explícita de Swamee–Jain para obter o fator de atrito
(evita iteração da Colebrook).
Passo 2
Primeiro: calcular velocidade média no tubo e a área da seção, pois tudo depende disso.
- Área da seção do tubo:
- Velocidade média:
Vamos calcular numericamente passo a passo.
Cálculo:
Explicação didática rápida: a área da seção de um tubo circular é
. Dividindo a vazão volumétrica
por
obtemos a velocidade média do fluido no tubo. Essas são as primeiras grandezas que precisamos para Reynolds, energia cinética e perdas.
Passo 3
Calcular o número de Reynolds para verificar o regime de escoamento (laminar/turbulento) e justificar o método para obter
.
- Fórmula:
Substituindo valores:
Interpretação:
→ escoamento claramente turbulento. Em escoamento turbulento em tubos precisamos de um fator de atrito
que depende de
e da rugosidade relativa
.
Calcular rugosidade relativa:
Passo 4
Obter o fator de atrito
. Vou usar a fórmula explícita de Swamee–Jain (boa para escoamento turbulento e precisa para engenharia):
Agora calculo os termos intermediários:
Somando:
Tomando
e aplicando a fórmula:
Interpretação:
é um valor típico para escoamentos turbulentos em tubos lisos/comercial com essas condições.
Passo 5
Calcular a perda de carga por atrito no trecho de descarga (do bocal da bomba até a superfície livre do reservatório de descarga).
A equação Darcy–Weisbach:
- Para o trecho de descarga tomo
(distância vertical do bocal da bomba até a superfície do reservatório de descarga — estou assumindo que esse é o comprimento do trecho relevante). - Já calculamos
, e . Também .
Termos intermediários:
Agora:
Portanto a perda de carga total no trecho de descarga (entre o bocal da bomba e a superfície do reservatório de descarga) é aproximadamente
— isto responde o item (A), sob a hipótese de comprimento igual a
e sem considerar locais.
Passo 6
Calcular a queda de pressão associada a essa perda de carga do item (A).
Relação entre perda de carga em altura e pressão:
Usando
,
,
(valor mais preciso da etapa anterior):
Isso responde o item (B): a queda de pressão entre o bocal de descarga e a superfície livre do reservatório é cerca de
.
Passo 7
Calcular a altura de carga que a bomba deve suprir (item C). Aqui precisamos considerar o caminho completo do fluido da superfície do reservatório de sucção (A) até a superfície do reservatório de descarga:
Fórmula prática (entre superfícies livres, pressões atmosféricas iguais e velocidades nas superfícies ≈ 0):
onde
é a diferença de cota entre superfície de descarga e superfície de sucção. Neste caso
.
Já temos
. Falta
no trecho de sucção (do reservatório A até a bomba). Tomando o comprimento do trecho de sucção igual a
(diferença de cota) e assumindo mesmo diâmetro, mesma vazão e mesmo
, aplicamos Darcy–Weisbach:
Então:
Explicação: a bomba precisa vencer a diferença de elevação (21 m) e as perdas por atrito em sucção e descarga. Não somei eventuais perdas locais (entrada, curvas, válvulas) porque não foram fornecidas; se existirem, devem ser adicionadas como alturas equivalentes
.
Passo 8
Calcular a potência mecânica teórica fornecida à bomba (potência hidráulica), item (D). Fórmula:
Substituindo:
Interpretação: esta é a potência teórica (hidráulica) fornecida ao fluido pela bomba. A potência mecânica que a bomba precisa receber do motor será maior porque há rendimentos mecânicos e hidráulicos reais (<100%), mas o enunciado pede a potência teórica, então usamos essa expressão.
Resposta
(A)
(B) (ou
)
(C)
(D)
(B)
(C)
(D)