Determinar a relação entre a velocidade média V e a máxima V_{\text {máx }}á e os coeficientes de correção \alpha de Coriolis e \beta de Boussinesq, em um conduto circular em que se produz: escoamento turbulento em tubos lisos, cuja distribuição de velocidades segue a lei da potência 1/7 de Prandtl:
V=v_{\text {máx }}\left(1-\frac{r}{R}\right)^{1 / 7}=v_{\text {máx }}\binom{y}{R}^{1 / 7}áá
Em ambos os casos \mathrm{V}_{\text {máx }}á é a velocidade no eixo do tubo; R o raio do mesmo; y=R-r, a distância da parede ao ponto de velocidade v.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá (resumo claro, peguei estes dados do enunciado):
  • Pede: a relação entre a velocidade média V e a máxima V_{\text{máx}}á, e os coeficientes de correção \alpha (Coriolis) e \beta (Boussinesq) para o perfil de velocidades dado.
  • Perfil de velocidade fornecido (no interior de um tubo circular de raio R): v(r)=v_{\text{máx}}\left(1-\frac{r}{R}\right)^{1/7}=v_{\text{máx}}\left(\frac{y}{R}\right)^{1/7},ááonde r é a distância ao eixo, R é o raio, y=R-r é a distância à parede, e v_{\text{máx}}á é a velocidade no eixo.
  • Precisamos usar as definições (padrão) dos coeficientes:
    • velocidade média: \displaystyle V=\frac{1}{A}\int_A v\,\mathrm{d}A,
    • coeficiente de Boussinesq (momento): \displaystyle \beta=\frac{1}{A V^{2}}\int_A v^{2}\,\mathrm{d}A,
    • coeficiente de Coriolis (energia cinética): \displaystyle \alpha=\frac{1}{A V^{3}}\int_A v^{3}\,\mathrm{d}A.
  • A área da secção é A=\pi R^{2} e o elemento de área em coordenadas polares é \mathrm{d}A=2\pi r\,\mathrm{d}r.

Passo 2

Cálculo da velocidade média V. Primeiro escrevo a integral da média em coordenadas radiais:
V=\frac{1}{\pi R^{2}}\int_{0}^{R} v(r)\,2\pi r\,\mathrm{d}r =\frac{2}{R^{2}}\int_{0}^{R} v_{\text{máx}}\left(1-\frac{r}{R}\right)^{1/7} r\,\mathrm{d}r.á
Explico a substituição que facilita: defino a variável adimensional \xi=\dfrac{r}{R}. Então r=R\xi e \mathrm{d}r=R\,\mathrm{d}\xi. A integral vira
V=\frac{2v_{\text{máx}}}{R^{2}}\int_{0}^{R}\left(1-\frac{r}{R}\right)^{1/7} r\,\mathrm{d}r =2v_{\text{máx}}\int_{0}^{1}\xi(1-\xi)^{1/7}\,\mathrm{d}\xi.áá
Agora precisamos avaliar a integral I_1=\displaystyle\int_{0}^{1}\xi(1-\xi)^{1/7}\,\mathrm{d}\xi. Reconhecemos uma integral beta; a forma geral é
\int_{0}^{1}\xi^{a-1}(1-\xi)^{b-1}\,\mathrm{d}\xi=B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}.
No nosso caso a=2 (pois \xi^{1}=\xi^{a-1}) e b=1+\tfrac{1}{7}=\tfrac{8}{7}. Usando a relação \Gamma(2)=1! e \Gamma(b+2)=(b+1)b\Gamma(b) obtemos a simplificação prática
B(2,b)=\frac{\Gamma(2)\Gamma(b)}{\Gamma(b+2)}=\frac{1}{b(b+1)}.
Portanto, com b=\tfrac{8}{7},
I_1=B\!\left(2,\tfrac{8}{7}\right)=\frac{1}{\tfrac{8}{7}\cdot\tfrac{15}{7}}=\frac{49}{120}.
Voltando para V,
V=2v_{\text{máx}}\,I_1=2v_{\text{máx}}\cdot\frac{49}{120}=\frac{49}{60}\,v_{\text{máx}}.ááá
Assim a relação entre média e máxima é
\boxed{V=\dfrac{49}{60}\,v_{\text{máx}}\approx 0{,}8167\,v_{\text{máx}}.}áá

Passo 3

Cálculo do coeficiente \beta (Boussinesq). Parto da definição
\beta=\frac{1}{A V^{2}}\int_A v^{2}\,\mathrm{d}A =\frac{1}{\pi R^{2} V^{2}}\int_{0}^{R}v_{\text{máx}}^{2}\left(1-\frac{r}{R}\right)^{2/7}2\pi r\,\mathrm{d}r.á
Fazendo a mudança \xi=r/R como antes:
\beta=\frac{2v_{\text{máx}}^{2}}{V^{2}}\int_{0}^{1}\xi(1-\xi)^{2/7}\,\mathrm{d}\xi.á
Avalio a integral I_2=\displaystyle\int_{0}^{1}\xi(1-\xi)^{2/7}\,\mathrm{d}\xi. Novamente é uma Beta com a=2 e b=1+\tfrac{2}{7}=\tfrac{9}{7}. Usando a fórmula simples,
I_2=B\!\left(2,\tfrac{9}{7}\right)=\frac{1}{\tfrac{9}{7}\cdot\tfrac{16}{7}}=\frac{49}{144}.
Substituo e uso V=\dfrac{49}{60}v_{\text{máx}}á (logo V^{2}=v_{\text{máx}}^{2}\left(\dfrac{49}{60}\right)^{2}á):
\beta=2\frac{v_{\text{máx}}^{2}}{v_{\text{máx}}^{2}\left(\dfrac{49}{60}\right)^{2}}\cdot\frac{49}{144} =2\left(\frac{60}{49}\right)^{2}\cdot\frac{49}{144}.áá
Agora simplifico passo a passo:
\beta=2\cdot\frac{60^{2}}{49^{2}}\cdot\frac{49}{144} =2\cdot\frac{60^{2}}{49}\cdot\frac{1}{144} =\frac{2\cdot 3600}{49\cdot 144}.
Calculando e reduzindo (ou usando fatoração),
\beta=\frac{50}{49}\approx 1{,}02041.
Interpretação rápida: \beta está muito próximo de 1, indicando pequena correção para o termo de momento.

Passo 4

Cálculo do coeficiente \alpha (Coriolis / correção de energia cinética). Definição:
\alpha=\frac{1}{A V^{3}}\int_A v^{3}\,\mathrm{d}A =\frac{1}{\pi R^{2} V^{3}}\int_{0}^{R}v_{\text{máx}}^{3}\left(1-\frac{r}{R}\right)^{3/7}2\pi r\,\mathrm{d}r.á
Com \xi=r/R:
\alpha=\frac{2v_{\text{máx}}^{3}}{V^{3}}\int_{0}^{1}\xi(1-\xi)^{3/7}\,\mathrm{d}\xi.á
Avalio I_3=\displaystyle\int_{0}^{1}\xi(1-\xi)^{3/7}\,\mathrm{d}\xi. É Beta com a=2 e b=1+\tfrac{3}{7}=\tfrac{10}{7}, logo
I_3=B\!\left(2,\tfrac{10}{7}\right)=\frac{1}{\tfrac{10}{7}\cdot\tfrac{17}{7}}=\frac{49}{170}.
Usando V=\dfrac{49}{60}v_{\text{máx}}á (logo V^{3}=v_{\text{máx}}^{3}\left(\dfrac{49}{60}\right)^{3}á):
\alpha=2\left(\frac{60}{49}\right)^{3}\cdot\frac{49}{170}.
Simplificando:
\alpha=\frac{2\cdot 60^{3}}{170\cdot 49^{2}} =\frac{60^{3}}{85\cdot 49^{2}}.
Podemos também escrever como fração numérica simples:
\alpha=\frac{43200}{40817}\approx 1{,}05896.
Observação interpretativa: \alpha é também próximo de 1, mas um pouco maior que \beta, o que significa que a correção da energia cinética (envolvendo v^{3}) é ligeiramente maior que a correção do momento.

Resposta

V=\dfrac{49}{60}\,v_{\text{máx}}\approx0{,}8167\,v_{\text{máx}}áá
\alpha=\dfrac{60^{3}}{85\cdot 49^{2}}\approx1{,}05896
\beta=\dfrac{50}{49}\approx1{,}02041

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