Determinar a relação entre a velocidade média
e a máxima
e os coeficientes de correção
de Coriolis e
de Boussinesq, em um conduto circular em que se produz: escoamento turbulento em tubos lisos, cuja distribuição de velocidades segue a lei da potência 1/7 de Prandtl:
Em ambos os casos
é a velocidade no eixo do tubo; R o raio do mesmo;
, a distância da parede ao ponto de velocidade
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá (resumo claro, peguei estes dados do enunciado):
- Pede: a relação entre a velocidade média
e a máxima , e os coeficientes de correção (Coriolis) e (Boussinesq) para o perfil de velocidades dado. - Perfil de velocidade fornecido (no interior de um tubo circular de raio
): onde é a distância ao eixo, é o raio, é a distância à parede, e é a velocidade no eixo. - Precisamos usar as definições (padrão) dos coeficientes:
- velocidade média:
, - coeficiente de Boussinesq (momento):
, - coeficiente de Coriolis (energia cinética):
.
- velocidade média:
- A área da secção é
e o elemento de área em coordenadas polares é .
Passo 2
Cálculo da velocidade média
. Primeiro escrevo a integral da média em coordenadas radiais:
Explico a substituição que facilita: defino a variável adimensional
. Então
e
. A integral vira
Agora precisamos avaliar a integral
. Reconhecemos uma integral beta; a forma geral é
No nosso caso
(pois
) e
. Usando a relação
e
obtemos a simplificação prática
Portanto, com
,
Voltando para
,
Assim a relação entre média e máxima é
Passo 3
Cálculo do coeficiente
(Boussinesq). Parto da definição
Fazendo a mudança
como antes:
Avalio a integral
. Novamente é uma Beta com
e
. Usando a fórmula simples,
Substituo e uso
(logo
):
Agora simplifico passo a passo:
Calculando e reduzindo (ou usando fatoração),
Interpretação rápida:
está muito próximo de
, indicando pequena correção para o termo de momento.
Passo 4
Cálculo do coeficiente
(Coriolis / correção de energia cinética). Definição:
Com
:
Avalio
. É Beta com
e
, logo
Usando
(logo
):
Simplificando:
Podemos também escrever como fração numérica simples:
Observação interpretativa:
é também próximo de
, mas um pouco maior que
, o que significa que a correção da energia cinética (envolvendo
) é ligeiramente maior que a correção do momento.